Числовые и функциональные ряды. Ряды Фурье. Чумакин М.Е - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

20
и n является натуральным числом, то абсолютная величина остатка ряда (15.1)
не превосходит 0,1 для всех
[]
1,0∈x при n=9,10,11…
3.6. Указания к задаче 16
Если члены функционального ряда
()
∑
∞
=1n
n
xU в области D не превосходят по
абсолютной величине соответствующих членов сходящегося числового ряда
∑
∞
=1
n
n
a с положительными членами, то этот функциональный ряд сходится в
области D равномерно и абсолютно (признак Вейерштрасса). При этом ряд
∑
∞
=1n
n
a называется мажорирующим для ряда
()
∑
∞
=1n
n
xU .
Пример 16.1.
Доказать равномерную сходимость функционального ряда
()
()()
∑
∞
=
++
+
1
2
1ln1
1
n
n
nn
x
(16.1)
на отрезке [-2,0].
Доказательство.
Так как
11 ≤+x при
[]
0,2−∈x , то
()
()()
()()
()
,...3,2,1
1ln1
1
1ln1
1
22
=
++
≤
++
+
n
nnnn
x
n
.
Числовой ряд
()()
∑
∞
=
++
1
2
1ln1
1
n
nn
(16.2)
с положительными членами сходится. Действительно, функция
()
()()
1ln1
1
2
++
=
xx
xf в промежутке
[
)
+∞,1 удовлетворяет условиям
интегрального признака Коши и
()
()()
()
,...3,2,1
1ln1
1
2
=
++
= n
nn
nf , причем
несобственный интеграл
()()
()
()
∫∫
+∞ ∞
=
+
+
=
++
11
22
2ln
1
1ln
1ln
1ln1 x
xd
xx
dx
сходится.
Таким образом, ряд (16.2) является мажорирующим для ряда (16.1) на
отрезке [-2,0], следовательно, ряд (16.1) сходится на этом отрезке равномерно и
абсолютно.
3.7. Указания к задаче 17
Если члены функционального ряда
()
∑
∞
=1n
n
xU непрерывны на отрезке [a,b] и
ряд сходится на [a,b] равномерно, то интеграл от суммы ряда, взятый по
отрезку [a,b], равен сумме ряда, полученного почленным интегрированием:

Страницы