Числовые и функциональные ряды. Ряды Фурье. Чумакин М.Е - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

22
() ()
...,1...
432
1ln
1
432
+−++−+−=+
−
k
xxxx
xx
k
k
в частности, при x=1
...,
12
1
2
1
...
5
1
4
1
3
1
2
1
12ln −
+
+−−+−+−=
nn
следовательно,
2ln1...
12
1
2
1
...
5
1
4
1
3
1
2
1
−=+
+
−++−+−
nn
. (17.3)
Сравнивая (17.2) и (17.3), получаем
() ()
2ln111 −==− SS .
Таким образом, ряд (17.1) сходится на отрезке [-1,1] и его сумма равна
()
()
,10
1
1
,1 2ln1
ln
2
1
1
2
1
1
,0 0
2
<<
−
+
=−
−−−
=
= xпри
x
x
xпри
x
x
xпри
xS
а во всех остальных точках расходится.
Пример 17.2.
Найти сумму ряда
()
∑
∞
=
−
2
1
n
n
nn
xctg
. (17.4)
Решение.
Рассмотрим сходящийся при
1
<
y геометрический ряд
∑
∞
=
−
−
=
2
2
1
1
n
n
y
y .
Интегрируя дважды этот ряд в пределах от 0 до y при
1
<
y ,
находим:
()
∑
∫
∞
=
−
−−=
−
=
−
2
0
1
,1ln
11
n
y
n
y
y
dy
n
y
()
()
∑
∫
∞
=
−−=
−
2
0
.1ln
1
n
y
n
dyy
nn
y
Положим
()
,,,
1
,1ln yVdydV
y
dy
dUyU ==
−
−=−= тогда по формуле
интегрирования по частям получаем
() () ()
∫∫∫
=
−
−−−=
−
−
−−=−
yyy
dy
y
yy
y
ydy
yydyy
000
1
1
11ln
1
1ln1ln
() ()()()
,1ln11ln1ln
yyyyyyy −−−=−−−−=
следовательно, при 1<y
()
()()
∑
∞
=
−−+=
−
2
.1ln1
1
n
n
yyy
nn
y
При y=1 имеем

Страницы