ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
24
сходится ряд
()
∑
∞
=1n
n
xU
, но и равномерно сходится ряд
()
∑
∞
=
′
1n
n
xU , то
() ()
∑∑
∞
=
∞
=
′
=
′
11
.
n
n
n
n
xUxU В частности, степенной ряд можно дифференцировать
почленно внутри его интервала сходимости. Кроме того, при почленном
дифференцировании степенного ряда радиус сходимости не изменяется.
Пример 18.1.
Найти сумму ряда
()
∑
∞
=
+
++
0
12
59
n
n
xnn . (18.1)
Решение.
Возьмем сходящийся при
1<x геометрический ряд
∑
∞
=
+
−
=
0
1
1
n
n
x
x
x
(18.2)
и дифференцируем его дважды
()
()
∑
∞
=
−
=+
0
2
1
1
1
n
n
x
xn
, (18.3)
()
()
∑
∞
=
−
−
=+
1
3
12
1
2
n
n
x
xnn
. (18.4)
Ряд (18.1) представим в виде
() ()
()
∑∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
+−+
−+++=++
0 1 00
112212
31859
nnnn
nnnn
xxnxxnnxxnn
. (18.5)
Из равенств (18.2)-(18.5) следует, что при
1<x
()
()() ()
3
3
2
0
3
2
12
1
35
1
3
1
8
1
2
59
x
xx
x
x
x
x
x
x
xnn
n
n
−
−
=
−
−
−
+
−
=++
∑
∞
=
+
.
При
1=x
и
1−=x
получаем соответственно ряды
()
∑
∞
=
++
0
2
59
n
nn
и
()
()
591
2
0
1
++−
∑
∞
=
+
nn
n
n
, которые расходятся.
Таким образом, ряд (18.1) сходится лишь при
1<x
и его сумма равна
()
()
()
1;1 ,
1
35
3
3
−∈
−
−
= x
x
xx
xS
.
3.9. Указания к задаче 19
Если функция
()
xf
допускает в некоторой окрестности точки a разложение
в степенной ряд по степеням
ax −
, то этот ряд имеет вид
() () ()( )
()
()
(
)
()
()
...
!
...
!2
2
+−++−
′′
+−
′
+=
n
n
ax
n
af
ax
af
axafafxf
(19.1)
Ряд (19.1) называется рядом Тейлора. При
0=a
ряд Тейлора называется также
рядом Маклорена.
Равенство (19.1) справедливо, если остаточный член ряда Тейлора
() () () ()( )
()
()
(
)
()
()
0
!
...
!2
2
→
−++−
′′
+−
′
+−=
n
n
n
ax
n
af
ax
af
axafafxfxR
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 22
- 23
- 24
- 25
- 26
- …
- следующая ›
- последняя »
