ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
26
Пользуясь разложением (19.3), находим:
()
∑
∞
=
+
<−=
+
⋅=
+
0
1
,2 ,
2
1
2
1
1
2
1
2
1
n
n
n
n
x
x
x
x
∑
∞
=
<=
−
0
,1 ,
1
1
n
n
xx
x
следовательно,
()
()
∑
∞
=
+
−∈
+
−
=
−−
0
12
1,1 ,1
2
1
2
3
n
n
n
n
xx
xx
.
3.10.Указания к задаче 20
При приближенном вычислении определенного интеграла часто, особенно в
случае, когда соответствующий неопределенный интеграл не выражается через
элементарные функции в конечном виде, бывает удобно представить его в виде
суммы ряда. Для этого сначала подынтегральную функцию разлагают в
степенной ряд, а затем интегрируют почленно.
Пример 20.1.
Вычислить интеграл
()
∫
1,0
0
2
100cos dxx
с точностью до 0,001.
Решение.
Полагая в разложении
()
()
()
∑
∞
=
+∞∞−∈
−
=
0
2
, ,
!2
1
cos
n
n
n
t
n
t
t
,
2
100xt =
получаем
()
()
()
()
+∞∞−∈
−
=
∑
∞
=
, ,
!2
101
100cos
0
44
2
x
n
x
x
n
nn
n
,
следовательно,
()
()
()
()
()()
∫
∑
∫
∑
∞
=
∞
=
+
=
+
−
=
−
=
1,0
0
0
1,0
0
0
0
1,0
14444
2
!214
101
!2
101
100cos
nn
nn
n
nn
n
nn
x
dx
n
x
dxx
()
()()
∑
∞
=
+
−
=
0
!21410
1
n
n
nn
.
Последний ряд является знакочередующимся рядом, поэтому, если в
качестве его суммы взять сумму первых n-1 членов, то ошибка по абсолютной
величине не будет превосходить числа
()()
.
!21410
1
nn
a
n
+
=
Так как
001,0
2160
1
,001,0
100
1
21
<=>= aa
, то с точностью до
0,001 имеем
()
()
()()
∑
∫
=
=−=
+
−
≈
1
0
1,0
0
2
.09,001,01,0
!21410
1
100cos
n
n
nn
dxx
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 24
- 25
- 26
- 27
- 28
- …
- следующая ›
- последняя »
