ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
25
при
∞→n
. Для оценки остаточного члена можно пользоваться формулой
()
(
)
()()
()
()
,10 ,
!1
1
1
<Θ<−
+
−Θ+
=
+
+
n
n
n
ax
n
axaf
xR
называемой остаточным членом в форме Лагранжа.
Имеют место следующие равенства:
1)
()
+∞∞−∈+++++= , ...,
!
...
!2!1
1
2
x
n
xxx
e
n
x
,
2)
()
()
()
+∞∞−∈+
+
−+−+−=
+
, ...,
!12
1...
!5!3
sin
1253
x
n
xxx
xx
n
n
,
3)
()
()
()
+∞∞−∈+−+−+−= , ...,
!2
1...
!4!2
1cos
242
x
n
xxx
x
n
n
,
4)
() () (
]
1,1 ...,1...
32
1ln
1
32
−∈+−+−+−=+
−
x
n
xxx
xx
n
n
, (19.2)
5)
()
()
()( )
()
1,1 ...,
!
1...1
...
!2
1
11
2
−∈+
+−−
++
−
++=+ xx
n
n
xxx
n
ααααα
α
α
(при х=1 это равенство справедливо для 1−>
α
, а при х=-1 для 0>
α
), в
частности, при
1−=
α
получаем геометрический ряд со знаменателем –х:
() ( )
1,1 ...,1...1
1
1
2
−∈+−+−+−=
+
xxxx
x
n
n
, (19.3)
6)
()
[]
1,1 ...,
122...42
12...31
...
542
31
32
1
arcsin
1253
−∈+
+⋅
−⋅
++
⋅
⋅
+⋅+=
+
x
n
x
n
nxx
xx
n
,
7)
()
[]
1,1 ...,
12
1...
53
12
1
53
−∈+
−
−+−+−=
−
−
x
n
xxx
xarctgx
n
n
.
Пример 19.1.
Разложить функцию
x
x
−
+
1
2
ln
в ряд Тейлора по степеням х.
Решение.
Данную функцию представим в виде
()()
x
x
x
x
−+−
++=
−
+
1ln
2
1ln2ln
1
2
ln
На основании равенства (19.2) при
1
2
1 ≤<−
x
, т.е. при
22 ≤<− x
можем записать
()
,
2
1
2
1ln
1
1
n
xx
n
n
n
n
∑
∞
=
−
−=
+
аналогично при
11 ≤−<− x
, т.е. при
11 <≤− x
()()
∑
∞
=
−=−+
1
,1ln
n
n
n
x
x
следовательно,
()
[
)
∑
∞
=
−
−∈
+
−
+=
−
+
1
1
1,1 ,1
2
1
2ln
1
2
ln
n
n
n
n
x
n
x
x
x
.
Пример 19.2.
Разложить функцию
2
2
3
xx −−
в ряд Тейлора по степеням х.
Решение.
Данную дробь разложим на простейшие
xx
xx
−
+
+
=
−−
1
1
2
1
2
3
2
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 23
- 24
- 25
- 26
- 27
- …
- следующая ›
- последняя »
