Числовые и функциональные ряды. Ряды Фурье. Чумакин М.Е - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

21
() ()
∫
∑
∫
∑
∞
=
∞
=
=
b
a
n
b
a
n
n
n
dxxUdxxU
11
.
В частности, сумма степенного ряда интегрируема на любом отрезке,
содержащемся в интервале сходимости, причем интеграл суммы ряда можно
получить почленным интегрированием данного ряда. Кроме того, при
почленном интегрировании степенного ряда радиус сходимости не изменяется.
Пример 17.1.
Найти сумму ряда
()()
∑
∞
=
+
++
0
22
3222
n
n
nn
x
. (17.1)
Решение. Интегрируя дважды почленно в пределах от 0 до x при
1<x
геометрический ряд
2
0
12
1 x
x
x
n
n
−
=
∑
∞
=
+
,
получаем:
()
∑
∫
∞
=
+
−−=
−
=
+
0
0
2
2
22
1ln
2
1
1
22
n
x
n
xdx
x
x
n
x
,
()()
()
∑
∫
∞
=
+
−−=
++
0
0
2
32
.1ln
2
1
3222
n
x
n
dxx
nn
x
Последний интеграл возьмем по частям, полагая
()
:,,
1
2
,1ln
2
2
xVdxdV
x
xdx
dUxU ==
−
−=−=
() ()() ()
∫∫∫
=
−
−−−=
−
−
−−=−
xxx
dx
x
xx
x
dxx
x
xxdxx
000
2
2
2
2
22
1
1
121ln
1
2
0
1ln1ln
() ()
,
1
1
ln21ln
0
1
1
ln
2
1
21ln
22
x
x
xxx
x
x
x
xxx
−
+
+−−=
−
+
−−−=
следовательно,
()()
()
∑
∞
=
+
−
+
−−−=
++
0
2
32
,
1
1
ln
2
1
1ln
2
1
3222
n
n
x
x
xxx
nn
x
отсюда при 0≠x и
1<x
сумма ряда (17.1)
()
()()
()
∑
∞
=
+
−
+
−−−=
++
=
0
2
22
.
1
1
ln
2
1
1ln
2
1
1
3222
n
n
x
x
x
x
nn
x
xS
Очевидно, что
()
00 =S и
() ()
()()
()
∑∑
∞
=
∞
=
=
+
−
+
=
++
==−
00
32
1
22
1
3222
1
11
nn
nnnn
SS
...
12
1
2
1
...
5
1
4
1
3
1
2
1
+
+
−++−+−=
nn
(1 7.2)
Известно, что для всех значений x из промежутка [-1,1] имеет место равенство

Страницы