ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
19
3.5. Указания к задаче 15
Функциональный ряд
()
∑
∞
=1n
n
xU , сходящийся в области D, называется
равномерно сходящимся в этой области, если для любого 0>
ε
найдется такое
число
()
ε
NN = , не зависящее от х, что при всех
()
ε
Nn >
для всех Dx ∈ имеет
место неравенство
() ()
ε
<=
∑
∞
+= 1nk
kn
xUxR .
Пример 15.1. Доказать, исходя из определения, равномерную сходимость
функционального ряда
()
∑
∞
=
−
−
1
3
3
6
1
n
n
n
n
x
(15.1)
на отрезке [0,1]. При каких n абсолютная величина остатка ряда не превосходит
0,1 для всех
[]
1,0∈x ?
Доказательство.
При любом фиксированном
[]
1,0∈x ряд (15.1) является
знакочередующимся рядом, члены которого, начиная со второго, по
абсолютной величине монотонно убывают и n-й член стремится к нулю при
∞→n . Следовательно, этот ряд сходится, и сумма его остатка не превосходит
первого члена этого остатка по абсолютной величине:
() ()
()
()
,...4,3,2
61
6
1
3
3
1
1
3
3
=
−+
≤
−
−=
+
∞
+=
∑
n
n
x
k
x
xR
n
nk
k
k
n
значит, для всех
[]
1,0∈x
()
()
3
3
61
1
−+
≤
n
xR
n
.
Взяв любое 0>
ε
, потребуем, чтобы
()
ε
<
−+
3
3
61
1
n
, отсюда
16
1
3
3
−+>
ε
n
.
Положив, таким образом,
16
1
3
3
−+=
ε
N , мы убеждаемся, что при Nn > ,
действительно,
()
ε
<xR
n
для всех x из отрезка [0,1]. Тем самым равномерная
сходимость ряда (15.1) на отрезке [0,1] доказана.
Так как для любого
[]
1,0∈x
()
()
1,0
61
1
3
3
≤
−+
≤
n
xR
n
при
()
98,816
1,0
1
3
3
≈−+≥n
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
- …
- следующая ›
- последняя »
