Числовые и функциональные ряды. Ряды Фурье. Чумакин М.Е - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

11
⋅
∑
∞
=2
2ln
1
n
nn
(7.2)
Так как функция
()
xx
xf
2ln
1
= в промежутке
[
)
+∞,2
удовлетворяет условиям
интегрального признака Коши и
()
nf
nn
=
2ln
1
()
,...4,3,2=n , то исследование
сходимости ряда (7.2) сводится к исследованию сходимости интеграла
∫
+∞
2
2ln xx
dx
.
Но интеграл
∫
∞+
∫
+∞=
+∞→
=
+∞→
=
22
2
2lnln
lim
2ln
2ln
lim
2ln
b
b
x
b
x
xd
b
xx
dx
, следовательно, ряд
(7.2) расходится.
Теперь найдем предел отношения соответствующих членов рядов (7.1) и
(7.2):
3
2ln2
2
2ln
2
3
lim
2ln
1
:
2ln2
2
3
lim
=
−
∞→
=
−
∞→
nn
nn
n
nn
nn
n
n
, значит, ряд (7.1) также
расходится.
2.8. Указания к задаче 8
Всякий абсолютно сходящийся ряд является сходящимся рядом. Если члены
знакочередующегося ряда по абсолютной величине монотонно убывают и n-ый
член стремится к нулю при ∞→n , то этот ряд сходится, а его сумма имеет
знак первого члена и не превосходит этого члена по абсолютной величине
(признак Лейбница).
Пример 8.1.
Исследовать на сходимость ряд
()
⋅
∑
∞
=1
4ln
sin
n
n
n
α
(8.1)
Решение.
Так как
() ()
nn
n
4ln
1
4ln
sin
≤
α
, а ряд
()
∑
∞
=1
4ln
1
n
n
является сходящимся
геометрическим рядом со знаменателем
4ln
1
=
q , то ряд (8.1) сходится
абсолютно.
Пример 8.2.
Исследовать на сходимость ряд
()
()
⋅
+
−
∑
∞
=1
3
!1
1
n
n
n
n
(8.2)
Решение.
Ряд из абсолютных величин членов ряда (8.2) сходится, так как

Страницы