Дополнительные главы анализа. Дробное интегрирование и дробное дифференцирование на основе d-оператора. Чуриков В.А. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

9
1
0
1
0
1
( 1)( 2)...( )
!
,
( )!
n
m n m n i
i
i
n
m n i
i
i
x d x x a x
m m m n
m
x a x
mn

(1.4)
где, m и n – любые целые числа. В этом случае должно выполняться не-
равенство n ≠ –m, а также для случая целых отрицательных показателей
степеней степенной функции – m должно выполняться условие
| m | > | n |; n! – факториал, который выражается через произведение чи-
сел n! = 1·2·3 … (n – 1)n.
Последнее слагаемое содержит a
i
– вещественные константы ин-
тегрирования, а
1
0
n
i
i
i
ax
– полином, получающийся при n-кратном интег-
рировании первого порядка, который будем обозначать C
n
(x):
1
21
0 1 2 1
0
( ) ... ; 1, 2,3,...
n
im
n i m
i
C x a x a a x a x a x n
(1.5)
Для обобщения формулы дифференцирования (1.3) на случай
дробных порядков, как нецелочисленных, так и целочисленных, заме-
ним в них соответственно целые числа m и n на любые конечные веще-
ственные числа s и α, а вместо факториала подставим его обобщение на
непрерывный случай.
После замены получим оператор дифференцирования дробного
порядка s степенных функций, названый оператором Адамара [6]:
Г( 1)
Г( 1)
s
s
s
dx
xx
dx s


. (1.6)
Здесь Γ(x) – интеграл Эйлера второго рода, или гамма-функция
Эйлера, свойства которой достаточно хорошо изучены. Ознакомиться с
которыми можно, например, в [7]. Гамма-функция является обобщени-
ем факториала на случай непрерывного значения аргумента.
В частности, для целочисленных значений переменной n гамма-
функция переходит в факториал
Γ(n + 1) = n!; n .

Страницы