Дополнительные главы анализа. Дробное интегрирование и дробное дифференцирование на основе d-оператора. Чуриков В.А. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

10
Заменяя в формуле (1.3) целочисленные значения n на любое ве-
щественное число α , Γ(n + 1) → Γ(α + 1), получаем формулу (1.6).
Сделав аналогичные замены в формуле интегрирования из стан-
дартного анализа (1.6), получим оператор Адамара для дробных поряд-
ков интегрирования [8]:
Г( 1)
()
Г( 1)
ss
s
x d x x C x
s



. (1.7)
Здесь C
s
(x) – функция, получающаяся при интегрировании поряд-
ка s, которая является обобщением константы интегрирования стан-
дартного анализа на случай дробных порядков интегрирования. Оче-
видно, что C
s
(x), должна удовлетворять свойству аналогичному из стан-
дартного анализа, а именно, производная порядка s от C
s
(x) должна
быть равна нулю
( ) 0
s
s
s
dx
Cx
dx
. (1.8)
Функцию C
s
(x) будем называть полиномом дробного интегриро-
вания порядка s. Подробно свойства C
s
(x) будут рассмотрены ниже.
Недостатком полученных операторов Адамара дробного диффе-
ренцирования (1.6) и интегрирования (1.7) является то, что для целых
отрицательных значений аргумента n = –1, –2, –3, –4, … и для любых
нецелочисленных порядков производной и интеграла значения функций
после дифференцирования и интегрирования обращаются в бесконеч-
ность:
Г( 1)
; 0; ; 1, 2, 3,...
Г( 1)
s
n n s
s
d x n
x x s s n
dx n s
 

Г( 1)
( ) ; 0; ; 1, 2, 3,...
Г( 1)
n s n s
s
n
x d x x C x s s n
ns
 

Это связано с тем, что гамма-функция Γ(m), стоящая в числителе,
имеет бесконечное счѐтное множество простых полюсов, когда аргу-
мент принимает целые неположительные значения m = 0, –1, –2, –3,
–4, … Или для аргумента в рассматриваемом случае, когда
– n + 1 = 0, –1, –2, –3, –4, …

Страницы