Дополнительные главы анализа. Дробное интегрирование и дробное дифференцирование на основе d-оператора. Чуриков В.А. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

12
Коэффициенты в данной формуле совпадают с вычетами (1.10),
но получены они разными независимыми способами, что говорит о глу-
бокой связи между ними.
Если при интегрировании в логарифмическом случае применить
напрямую оператор Адамара дробного интегрирования (1.7), то полу-
чим бесконечность в полюсе гамма-функции
1 1 1 0
00
: Г(0)Г (1)d x x x a a

.
Важно, что оператор Адамара во всех логарифмических случаях
не даѐт формулу стандартного анализа, а из формулы (1.13) в частном
случае n = 1, получим с формулу стандартного анализа (1.2).
Но случаями, когда d
n
x
:
x
–n
(n ), логарифмические случаи пол-
ностью не исчерпываются. Они также возникают, когда интегралы це-
лочисленных порядков m берутся от степенных функций с целочислен-
ным отрицательным показателем –n и m > n. Эти случаи полностью ре-
шаются в рамках стандартного анализа. Рассмотрим их.
1
1
( 1)
: : : : ln| |
( 1)!
( 1)
:ln | |; ; , .
( 1)!
n
m n m n n n m n
n
mn
d x x d x d x x d x x
n
d x x m n m n
n



(1.14)
В данной формуле необходимо ещѐ найти интегралы порядков
m – n:
:ln| |
mn
d x x
.
В частных случаях порядков интегрирования 1, 2 и 3 эти интегра-
лы будут
1
:ln| | ln| | ;d x x x x x
(1.15)
2 2 2 2
2
1 1 1
:ln| | ln| | ;
2 2 2
d x x x x x x
(1.16)
3 3 3 3 3
22
1 1 1 1
:ln| | ln | |
2 3 3 2 3 2 3
d x x x x x x x
; (1.17)
4 4 4 4 4 4
2 2 2
1 1 1 1 1
:ln | | ln | |
2 3 4 4 3 4 2 3 4 2 3 4
d x x x x x x x x
. (1.18)

Страницы