Дополнительные главы анализа. Дробное интегрирование и дробное дифференцирование на основе d-оператора. Чуриков В.А. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

11
Г( 1) ; 1, 2, 3, 4, ...nn
Обойти эту трудность можно заменив в формулах (1.6) и (1.7)
дробного интегродифференцирования бесконечности в полюсах гамма-
функции вычетами гамма-функции в соответствующих полюсах [9] по
известной формуле [7]:
( 1)
Res ( ) ; 0,1, 2, 3, 4,...
!
m
m
m
m

(1.9)
Применительно к рассматриваемому случаю, когда m = 1 – n, дан-
ная формула легко преобразуется к виду
1
1
( 1)
Res ( ) ; 1, 2, 3, 4,...
( 1)!
n
n
n
n

(1.10)
Подставляя значения вычетов (1.10) вместо полюсов в формулы
дробного интегродифференцирования (1.6) и (1.7), получим формулы,
соответственно, дробного дифференцирования и интегрирования неце-
лочисленных порядков «в полюсах»
1
1
Res (1 )
( 1)
:;
Г( 1) ( 1)!Г( 1)
sn
sn
n s n s n
s
n
dx
x x x
dx n s n n s



(1.11)
1
1
Res (1 )
( 1)
( ) ( ),
Г( 1) ( 1)!Г( 1)
n
sn
n s s n s n
ss
n
x d x x C x x C x
s n n s n


(1.12)
в (1.11) и (1.12) n = 1, 2, 3, 4, … ; s .
Рассмотрим ряд важных частных случаев, когда порядки интегро-
дифференцирования и показатели степенных функций могут принимать
целочисленные значения.
Если n раз проинтегрировать функцию с показателем степени –n,
то легко получить формулу, которая обобщает формулу стандартного
анализа (1.2):
1
1
0
( 1)
... ln| |
( 1)!
n
n
n n n i
i
n
i
n
x dxdx dx x d x x C x
n

. (1.13)

Страницы