Дополнительные главы анализа. Дробное интегрирование и дробное дифференцирование на основе d-оператора. Чуриков В.А. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

8
Глава 1. ОПЕРАТОР ДРОБНОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
И ДРОБНОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ
§ 1. Получение оператора дробного
дифференцирования и интегрирования
Обобщение операций дифференцирования и интегрирования на
случай любого конечного вещественного порядка можно начать с
обобщения формул стандартного анализа для дифференцирования и ин-
тегрирования степенных функций.
Для производной и неопределѐнного интеграла первого порядка
от степенной функции x
α
в стандартном анализе хорошо известны фор-
мулы [4, 5]
1
d
xx
dx

и
1
00
1
; , ; 1
1
x dx x a a


. (1.1)
Здесь a
0
- константа интегрирования.
Вторая формула справедлива для всех показателей степенной
функции, кроме α = –1. Для данного частного случая справедлива фор-
мула интегрирования
1
0
ln| |x dx x a

. (1.2)
Данный частный случай не вписывается во вторую формулу (1.1)
и является следствием того, что производной натурального логарифма
ln| x | является функция 1/x [4].
Применяя формулы дифференцирования и интегрирования после-
довательно n раз, можно получить формулы стандартного анализа для
производной порядка n от степенной функции x
m
(n, m )
!
( )...( 1)
( )!
n
m m n m n
n
d x m
x m n m mx x
dx m n

. (1.3)
Последовательно интегрируя n раз степенную функцию x
m
, полу-
чим

Страницы