Краткое введение в дробный анализ на основе оператора Адамара. Чуриков В.А. - 67 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

67
Рассмотрим с экспоненты данной ветви. Ряд частной экспоненты
exp
1/2
x можно получить как частный случай дробной экспоненты
1
1
exp
()
ns
s
n
x
x
ns
, для порядка s = 1/2.
Значения гамма-функций можно преобразовать, используя формулы
( 1) !mm
,
( 1/2) (1 3 5...(2 1))/2
m
mm
, тогда для экспоненты
exp
1/2
x получим ряд
1 / 2 1/ 2 1/ 2 2 3/ 2
1/ 2
1
2 3 5/ 2 3 4 7/2 4 5 9/2
22
exp 1
( /2) 1!
13
2 2 2
...
2! 3! 4!
1 3 5 1 3 5 7 1 3 5 7 9
n
n
x x x x x
x
n
x x x x x x
Далее, перемножив числа в коэффициентах ряда, получим разложе-
ние в ряд
1/ 2 1/2 3/ 2 2
1/ 2
5/2 3 7/ 2 4 9/2
24
exp 1
1! 2!
3
8 16 32
...
3! 4!
15 105 945
x x x x x
x
x x x x x
Переписав вместе члены ряда с целыми и с дробными порядками,
получим
234
1/ 2
1/ 2 1/2 2 3/ 2 3 5/ 2 4 7/2 5 9/ 2
exp 1 ...
1! 2! 3! 4!
2 2 2 2 2
... .
1 3 1 3 5 1 3 5 7 1 3 5 7 9
x x x x
x
x x x x x x






В первой части получается экспонента exp
x, а во второй части стоит
ряд, который обозначим как функцию ξ
1/2
x.
Функцию ξ
1/2
x перепишем, выделив общий сомножитель π
-1/2
x
1/2

Страницы