Краткое введение в дробный анализ на основе оператора Адамара. Чуриков В.А. - 68 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

68
1
1/ 2
1
2 3 2 4 3 5 4 1
2
(2 1)!!
1 2 2 2 2 2
2 ... ... .
1 3 1 3 5 1 3 5 7 1 3 5 7 9 (2 1)!!
nn
n
nn
xx
x
n
x x x x x x
xn





Тогда экспоненту exp
1/2
x, кратко можно записать как
exp
1/2
x=exp
x+ξ
1/2
x.
Легко убедиться, что функцию ξ
1/2
x можно получить из экспоненты
exp
x, действуя на неѐ оператором дифференцирования d
-1/2
x:
d
-1/2
x: exp
x=ξ
1/2
x.
Тогда будет справедлива формула exp
1/2
x=exp
x+d
-1/2
x:
exp
x=(1+d
-1/2
x)exp
x.
Производная порядка 1/2 от функции ξ
1/2
x будет равна
d
-1/2
x:ξ
1/2
x=exp
x.
Оператор дифференцирования d
-1/2
x должен переводить экспоненту
exp
1/2
x саму в себя. В этом можно легко убедиться почленным дифферен-
цированием ряда:
d
-1/2
x: exp
1/2
x=exp
1/2
x.
Производную порядка 1/2 от экспоненты exp
1/2
x можно найти, ис-
пользуя форму exp
1/2
x=exp
x+ξ
1/2
x:
d
-1/2
x: exp
1/2
x=d
-1/2
x: (exp
x+ξ
1/2
x)=ξ
1/2
x+exp
x=exp
1/2
x.
Подействовав дважды оператором d
-1/2
x на экспоненту, exp
1/2
x, полу-
чим опять экспоненту exp
1/2
x:
d
-1/2
x: d
-1/2
x: exp
1/2
x=exp
1/2
x.
Легко проверить, что производная первого порядка от экспоненты
exp
1/2
x не переводит еѐ в саму себя, т. е., d
-1
x:exp
1/2
x ≠ exp
1/2
x.
Найдѐм производную d
-1
x: exp
1/2
x. Вначале рассмотрим производную
первого порядка d
-1
x:ξ
1/2
x

Страницы