Краткое введение в дробный анализ на основе оператора Адамара. Чуриков В.А. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

8
Последнее слагаемое содержит C
i
— вещественные константы ин-
тегрирования, а
1
0
m
i
i
i
Cx
— полином, получающийся при n-кратном интег-
рировании
1
21
0 1 2 1
0
... , 1, 2,3...
m
im
im
i
C x C C x C x C x m
Для случая, когда степень функции удовлетворяет равенству:
m = – n, будет справедлива формула после n интегрирований
1
1
0
( 1)
ln
( 1)!
n
n
n n i
i
i
x d x x C x
n

.
Для обобщения данных формул на случай нецелочисленных поряд-
ков производных заменим в них соответственно целые числа m и n на лю-
бые конечные вещественные числа s и α, а также заменяя факториалы их
обобщением на непрерывный случай. Тогда получим формулу Адамара
для нецелочисленного дифференцирования
Г( 1)
,0
Г( 1)
s
s
s
dx
x x s
dx s



.
Здесь Γ(x) — гамма-функция Эйлера или эйлеров интеграл второго
рода [5], которая и является необходимым обобщением факториала на слу-
чай, когда порядок дифференцирования и интегрирования пробегает не-
прерывный ряд значений. В случае целочисленных значений переменной
справедлива формула Γ(n + 1) = n!, n; C
s
(x) — функция, получающаяся
при интегрировании порядка s, которая является аналогом констант интег-
рирования стандартного анализа, и очевидно, должна удовлетворять свой-
ству аналогичному из стандартного анализа, а именно, производная поряд-
ка s от C
s
(x) должна быть равна нулю
( ) 0
s
s
s
dx
Cx
dx
.

Страницы