Составители:
Рубрика:
Глава 3 Случайные величины 103
t, получим, что
P( (x
1
, x
2
) ) = Φ
x
2
− a
σ
− Φ
x
1
− a
σ
. (3.25)
Функция Лапласа не зависит от конкретных параметров a и σ. Они учи-
тываются в формуле (3.25). Для функции Лапласа с п омощью методов
приближенного интегрирования составлены таблицы значений на проме-
жутке [0, 5] с разной степенью точности. В ариант такой таблицы поме-
щен в разделе «Приложение» нашего учебного пособия. Очевидно, что
функция Лапласа является нечетной, следовательно, нет необходимости
помещать в таблицу ее значения пр и отрицательных x. При x > 0.5 зна-
чения Φ(x) с большой точностью (до 10
−5
) совпадают с числом 0.5, по-
скольку
lim
x→+∞
Φ(x) = 0.5. (3.26)
В дальнейшем, при решении задач мы, для краткости, будем записывать
это свойство как Φ(+∞) = 0.5.
Простым, но очень важным свойством любой нормально распреде-
ленной случайной величины является так называемое
Пpавило тpех сигм: с вероятностью не менее, чем 0.997, значения
случайной величины, имеющей нормальне распределение, содержатся в
промежутке [a − 3σ, a + 3σ].
Справедливость этого правила вытекает из формулы (3.25) и того
факта, что Φ(3) − Φ(−3) = 2 Φ(3) ≈ 0.997.
Задача 3.24. Вес одного заряда охо тничьего пороха должен рав-
няться 2.3 грамма. Этот заряд взвешивается на весах. В то время,
как стрелка весов показывает нужный вес, этот вес, на деле, пред-
ставляет собой случайную величину ξ с нормальным законом распреде-
ления, поскольку весы «не без греха». Среднее значение ξ (параметр a)
равно нужному весу: 2.3 грамма. Среднее квадратическое о тклонение
(параметр σ) равно 0.15 грамма. Определить вероятность поврежде-
ния ружья, если максимально допустимый вес порохового заряда равен
2.5 граммам.
Повреждение ружья наступит, если величина заряда превысит зна-
чение 2.5 грамма. Этому соответствует событие ξ > 2.5. Вычислим его
вероятность, используя формулы (3.25) и (3.26):
P((2.5, +∞)) = Φ (+∞) − Φ ( (2.5 − 2.3)/0.15 ) ≈ 0.5 − 0.41 = 0.09.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 100
- 101
- 102
- 103
- 104
- …
- следующая ›
- последняя »
