Теория вероятностей. Чурилова М.Ю. - 108 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГПУ им. Герцена | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Глава 3 Случайные величины 109
Легко заметить, что дисперси я измеряется не в таких единицах, как
математическое ожидание: единицы измерения возводятся в квадрат.
Это не всегда удобно. Для единообразия единиц измерения из диспер-
сии извлекают квадратный корень.
Определение среднего квадратического отклонения. Средним
квадратическим отклонением случайной величины ξ называется квад-
ратный корень из ее дисперсии: σ
ξ
=
p
D
ξ
.
Математическое ожидание, как и для дискретных случайных вели-
чин, является «предсказанием» среднего арифметического наблюдавших-
ся значений изучаемой случайной величины (то есть среднего значения).
Дисперсия — «предсказанием» среднего квадрата отклонения от средне-
го значения.
Рассмотрим для абсолютно непрерывных величин проблему опреде-
ления минимального интервала вида (M
ξ
−r, M
ξ
+r), в который значения
ξ попадают с заданной вероятностью γ. Если закон распределения слу-
чайной величины известен, то такой интервал можно точно определить,
интегрируя плотность по симметричному интервалу с центром в M
ξ
и пе-
ременным радиусом r . Для многих случайных величин (в частности, для
нормального распределения) такой метод опирается на численное инте-
грирование. С помощью теоремы Чебышева (теорема 3.1) можно получиь
простую, но приближенную оценку интервала вида (M
ξ
− r, M
ξ
+ r), в
который значе ния ξ попадают с вероятностью заведомо большей, чем γ.
Этот метод не требует знания закона распределения, а только знание M
ξ
,
D
ξ
и γ.
Для приближенного определения радиуса окрестности математиче-
ского ожидания, в которую значения случайной величины попадают с
вероятностью больше, чем γ, надо правую часть неравенства (3.6) при-
равнять γ.
Если в неравенство (3.6) вместо r подставить 3 σ
ξ
, то соответствую-
щая вероятность будет не меньше, чем 8/9. Этот результат любопытно
сравнить с «точным» результатом для нормального закона, который ра-
вен 0.997.
В заключение параграфа рассмотрим «абстрактную» задачу, реше-
ние которой использует определения и свойства функции распределения,
плотности распределения, математического ожидания и диспе рси и абсо-
лютно непрерывной случайной величины.
Задача 3.28. Плотность распределения случайной величины X

Страницы