Теория вероятностей. Чурилова М.Ю. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГПУ им. Герцена | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

12 Теория вероятностей
Строгое доказательство теоремы опускаем.
Определение кортежа. В математике упорядоченные наборы из k
элементов, среди которых могут быть и одинаковые, называются корте-
жами длины k. Число k называется длиной кортежа, а элемен ты — его
компонентами. Номера компонент иногда называют местами кортежа.
Рассмотрим теперь несколько примеров применения теорем сложения
и умножения.
Задача 1.8. Сколько чисел от единицы до тысячи делятся на два
или на тpи?
Обозначим через S
1
множество чисел от 1 до 1000, делящихся на два.
Обозначим через S
2
множество чисел от 1 до 1000, делящихся на тpи. В
пересечении S
1
и S
2
содержатся числа, делящиеся на шесть. Поэтому по
теореме сложения M(S
1
∪ S
2
) = M(S
1
) + M(S
2
) − M(S
1
∩ S
2
) = 500 +
333 −166 = 667.
Задача 1.9. Сколько существует трехзначных натуральных чи-
сел, у которых первая цифра нечетная?
Обозначим трехзначное число так: (v
1
, v
2
, v
3
), v
1
— первая цифра, v
2
— вторая, v
3
— третья. Число v
1
принадлежит множеству {1, 3, 5, 7, 9 },
а числа v
2
и v
3
— множеству {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }. Поэтому, по тео-
реме умножения, количество всех трехзначных натуральных чисел с пер-
вой н еч етной цифрой равно 5 · 10 · 10 = 500.
Задача 1.10. Сколько существует трехзначных натуральных чи-
сел, у которых ровно одна нечетная цифра?
Обозначим трехзначное ч ис ло: (v
1
, v
2
, v
3
). Все ч ис ла, удовлетворяю-
щие условию задачи, разобьем на три непересекающихся множества: S
1
,
S
2
, S
3
. В S
1
поместим все трехзначные числа, у которых нечетна цифра
v
1
, в S
2
— числа с нечетной цифрой v
2
, в S
3
— с нечетной цифрой v
3
.
По теореме умножения M(S
1
) = 5 · 5 · 5 (v
1
из {1, 3, 5, 7, 9}, v
2
и v
3
из
{0, 2 , 4, 6, 8}). Поскольку первая цифра не равна нулю, M (S
2
) = 4 · 5 · 5
(v
1
из {2, 4, 6, 8}, v
2
из {1, 3, 5, 7, 9}, v
3
из {0, 2, 4, 6, 8}). Аналогично
M(S
3
) = 4 · 5 · 5. По теореме сложения M(S
1
∪ S
2
∪ S
3
) = 325.
Задача 1.11. Сколько существует трехзначных натуральных чи-
сел, у которых есть хотя бы одна нечетная цифра?

Страницы