Теория вероятностей. Чурилова М.Ю. - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГПУ им. Герцена | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

30 Теория вероятностей
принадлежит также и A (как говорят, «попадет в A»)? Если предполо-
жить, что вероятность попадания в произвольную квадрируемую часть Ω
зависит только от площади этой части (причем прямо пропорционально)
и не зависит от ее расположения в Ω, то естественно за эту вероятность
принять, по определению, отношение площадей:
P(A) =
площадь(A)
площадь(Ω)
. (2.4)
Это определение хорошо согласуется с классическим. Действительно,
если множество Ω разбито на n частей равной площади, то вероятность
попадания случайной точки в каждую такую часть по обоим определе-
ниям равна 1/n.
Хорошо известно, что квадрируемые подмножества Ω образуют σ-ал-
гебру. В силу этого можно рассматривать поле F событий на Ω, состоя-
щее из всех его квадрируемых подмножеств. На этом поле будут им еть
смысл сумма, произведение, разность событий и дополнение их до Ω. Ве-
роятностная функция, определенная по формуле (2.4), будет обладать
всеми теми же свойствами, перечисленными в разделе 2.2 для классиче-
ского определе ния.
Аналогичная модель (Ω, F, P) может быть построена п ри условии,
что Ω — спрямляемое множество (имеющее длину) или кубируемое мно-
жество (имеющее объем). Все модели такого типа носят общее название
«геометрические вероятностные модели».
Задача 2.9. Отрезок случайным образом делится на три части.
Какова вероятность, что эти части могут быть сторонами одного
треугольника?
Пусть длина отрезка равна L, длина одной части равна x, другой — y,
третьей — L−x−y. В каче стве Ω рассмотрим множество всех таких точек
(x, y) на координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют
трем неравенствам одновременно:
0 < x < L, 0 < y < L, 0 < L − x − y < L.
Множество Ω (пространство э ле мен тарных событий) представляет со-
бой треугольник OAB (см. рис. 2.1). Известно, что для того, чтобы три
числа были длинами сторон одного треугольн ика, необходимо и доста-
точно, чтобы каждое из них было меньше суммы двух других. Следо-
вательно, высказыванию «три части могут быть сторонами одного тре-
угольника» соответствует событие A — множество всех таких пар (x, y),

Страницы