Теория вероятностей. Чурилова М.Ю. - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГПУ им. Герцена | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

34 Теория вероятностей
Легко доказать, что вероятностная функция P
1
на F
1
имеет те же свой-
ства, что и P на F . Будем в дальнейшем называть A подпространством
Ω.
Формула (2.5) является теоретическим обобщением с войства относи-
тельных частот: если из N экспериментов событие A наблюдалось N
A
раз, а событие AB — N
AB
раз, то событие B наблюдалось в той части
случаев появления A, которая равна N
AB
/N
A
(относительная частота B
при условии A). С другой стороны, то же число равно (N
AB
/N)/(N
A
/N).
Задача 2.11. В группе 30 студентов, из них 10 — юноши, 20 —
девушки. Отличников в группе — восемь, из них тpое — юноши. Какова
вероятность, что случайно выбранный из списка этой группы человек
— отличник (событие B)? Какова вероятность, что выбран отличник,
если известно, что выбран юноша (событие B при условии A)?
По классической модели вероятность B равна 8/30 = 4/15. Вероят-
ность, что выбран юноша-отличн ик , равна 3/30, это P(A и B). Вероят-
ность, что выбран юноша, равна P(A) = 10/30 = 1/3. По опред ел ени ю
вероятности B при условии A имеем P(B/A) = (3/30) : (1/3) = 3/10. Тот
же ре зультат мы бы получили, введя классическую модель на A.
Задача 2.12. Вероятность, что любит и не поцелует, равна 0.1.
Вероятность, что не любит и поцелует, равна 0.05. Вероятность, что
поцелует при условии, что любит, равна 0.8. Какова вероятность, что
любит? Какова вероятность, что поцелует?
В качестве элементарных событий рассмотрим четыре события: A
(любит и поцелует), B (любит и не поцелует), C (не любит и поцелу-
ет), D (не любит и не поцелует). Они образуют полную группу. Даны
вероятности: P(B) = 0.1, P(C) = 0.05, P(A + C при условии A + B) = 0.8.
Надо найти вероятность A + B. Обозначим ее через x. Тогда по опреде-
лению условной вероятности (x − 0.1)/x = 0.8, откуда получаем x = 0.5.
Так как P(A) = x − 0.1 = 0.4, то P(A + C) = 0.45.
Из опр ед еле ния условной вероятности непосредственно вытекает
Теорема 2.1 (теорема умножения вероятностей). Если собы-
тия A и B из F имеют положительные вероятности, то
P(AB) = P(A) P(B/A) = P(B) P(A/B). (2.6)
Добавляя по одному событию, можно получить обобщение
P(A
1
A
2
. . . A
k
) = P(A
1
) P(A
2
/A
1
) P(A
3
/A
1
A
2
) . . .
P(A
k
/A
1
A
2
. . . A
k−1
).
(2.7)

Страницы