Составители:
Рубрика:
Глава 2 Случайные события и их вероятности 35
Заметим, что в формулах (2.6), (2.7) все вероятности рассчитывают-
ся в рамках одной и той же модели (Ω, F, P). На практике при реше-
нии вероятностных задач часто возникает ситуация, когда вероятность
A просчитана в одном пространстве, а условные вероятности — в другом.
Использование формул (2.6), (2.7) в таких случаях приобретает несколь-
ко иной смысл.
Задача 2.13. Студент на экзамене знает 20 вопросов из 25. Пре-
подаватель задает два вопроса. Какова вероятность, что студент зна-
ет оба эти вопроса?
Рассмотрим последовательность из двух испытаний: 1) входит ли пер-
вый вопрос в 20 известных; 2) входит ли второй в 20 известных. Обозна-
чим через A высказывание: «первый вопрос входит в 20 известных», а
через B — высказывание: «второй вопрос входит в 20 известных». Из по-
становки задачи следует, что надо найти вероятность события, описыва-
емого высказыванием «A и B», то есть AB. Если в качестве Ω взять мно-
жество из 25 вопросов, то вероятность события A: «первый вопрос входит
в 20 известных», вычисленная по классической схеме, равна 20/25 = 0.8.
Если событие A произошло, то остается 19 известных вопросов из 24,
иначе — 20. Если в качестве Ω взять подмножество, соответствующее A,
то можно на нем по классической схеме рассчитать вер оятность события
X, что и второй вопрос известен студенту. Эта вероятность будет рав-
на 19/24. Некорректно сразу утверждать, что полученная вероятность и
есть вероятность B при условии A, поскольку в определении условной ве-
роятности предполагается, что значения вероятностей A и AB получены
в рамках одной модели. Для решени я задачи построим модель, опис ыва-
ющую совокупный результат двух последовательных экспериментов, в
которой определен ы события A, B, AB, а X является событием в под-
пространстве A и имеет в нем вероятность 19/24.
В качестве Ω возьмем множество из четыpех элементов, соответству-
ющих высказываниям: AB,
¯
AB, A
¯
B,
¯
A
¯
B. События в Ω — это по сути
дела упорядоченные пары множеств, которые мы приняли за элементы.
Сумме событий AB +A
¯
B припишем вероятность 0.8, так как такое собы-
тие происходит тогда и только тогда, когда A. Событие B отождествим с
¯
AB +AB, поскольку оно происходит тогда и только тогда, когда B. Сум-
му AB + A
¯
B можно рассматривать как подпространство A в Ω, опреде-
лив в нем вероятностную функцию по формуле P(Y /A) = P(AY )/P(A).
С другой стороны, известно, что A может быть само рассмотрено как
пространство из двух элементарных событий: X и
¯
X, на котором введе-
на вероятностная функция P
A
. Событие X в A получается пересечени ем
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 32
- 33
- 34
- 35
- 36
- …
- следующая ›
- последняя »
