Теория вероятностей. Чурилова М.Ю. - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГПУ им. Герцена | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

38 Теория вероятностей
3) Покажем, что равенство P(A/B) = P(A) равносильно равенству
P(A/
¯
B) = P(A) (остальное аналогично). Это станет очевид но, если при-
нять во внимание, что оно равносильно равенству P(AB) = P(A) P(B),
а AB + A
¯
B = A, и P(AB) + P(A
¯
B) = P(A), следовательно, P(A/
¯
B) =
P(A
¯
B)/P(
¯
B) = (P(A) − P(AB))/(1 − P(B)).
Доказанная теорема придает абстрактному понятию независимости
двух событий «физический» смысл: вероятность A остается постоянной
как при условии, что B произошло, так и при условии, что B не произо-
шло. Именно это мы принимаем з а независимость в обыденной жизни.
Задача 2.16. Пусть выполнены условия задачи 2.12 предыдущего
раздела. Зависимы ли события: «любит» и «поцелует»?
Для ответа на этот вопрос сравним вероятность события «любит и
поцелует» с произве ден ием вероятностей событий «любит», «поцелует».
Первая вероятность равна P(A) = 0.4, а две другие — 0.5 и 0.45. Легко
видеть, что условие (2.8) не выполнено и события зависимы.
Определение совокупной независимости нескольких событий.
События A
1
, A
2
, . . . , A
k
из F будем называть независимыми в совокупно-
сти, если вероятность совместного наступления любых r (r > 2) из этих
событий равна произведению их вероятностей.
В частности, вероятность совместного наступления всех данных со-
бытий равна
P(A
1
A
2
. . . A
k
) = P(A
1
) P(A
2
) . . . P(A
k
). (2.9)
Заметим, что из попарной независимости не следует независимость
в совокупности.
Задача 2.17. Пусть события A, B, C состоят в попадании точ-
ки в фигуры, указанные на рис. 2.3, расположенные внутри общего пра-
вильного треугольника (проведены средние линии). Независимы ли со-
бытия A, B, C в совокупности?
Здесь P(A) = P(B) = P(C) = 0.5; P(AB) = P(BC) = P(AC) = 0.25,
следовательно, есть попарная независимость. Однако P(ABC) = 0.25, в
то время как P(A) P(B) P(C) = 1/8.
Перейдем теперь к расчету вероятностей совокупных результатов по-
следовательных или совместных испытаний, независимых с точки зрения
«физики».

Страницы