Составители:
Рубрика:
Глава 2 Случайные события и их вероятности 41
Здесь считалось, что A и B — независимые события. Заметим, что
одновременный залп повышает вероятность попадания и с точки зрения
теории.
2.7. Полная вероятность. Формула Байеса
Теорема умножения вероятностей (формула (2.6) раздела 2.6), как
уже говорилось, позволяет определить вероятность события X в про-
странстве Ω, если известна вероятность X в подпространстве A и веро-
ятность A в Ω. Но на этом пути нельзя определить вероятность любого
события B в Ω. Чтобы пояснить это, рассмотрим следующую задачу.
Задача 2.20. В появлении двух студентов A и B на лекциях по
теории вероятностей обнаружилась следующая закономерность: A по-
сещает 60% лекций, если A пришел на лекцию, то в 99% случаев придет
и B. Какой пpоцент лекций посещает B?
Рассмотрим простран ство Ω из четыpех элементарных событий: AB,
A
¯
B,
¯
AB,
¯
A
¯
B. Событию A соответствует высказывание: «студент A при-
шел на лекцию», событию B — «студент B пришел на лекцию». Как
описывалось в предыдущем разделе, можно определить вероятность AB
по теореме умножения: P(AB) = P(B/A) P(A) = 0.6 · 0.99 = 0.594. Но со-
бытие B в этой модели является суммой событий AB и
¯
AB. Вероятность
же
¯
AB не определить из условия: не известно, как часто ход ит студент
B на лекции в отсутствие студента A.
Если в отсутствие A студент B приходит также в 99% случаев, то
посещаемость B не зависит от A, и P(B) = 0.99. Если же, например,
P(B/
¯
A) = 0.01, то P(B
¯
A) = P(
¯
A) P(B/
¯
A) = (1 −0.6)0.01 = 0.004, следова-
тельно, P(B) = 0.594 + 0.004 = 0.598. То есть B посещает 59.8% лекций.
Обобщая решение задачи, делаем следующие выводы: вероятность
любого события B в пространстве Ω может быть определена через из-
вестные вероятности событий A,
¯
A, B/A и B/
¯
A, вычисленные до того,
как было введено Ω (см. схему рассуждений при решении задачи 2.13
в разделе 2.6). Аналогичный результат получается, когда в Ω рассмат-
риваются не два подпространства A и
¯
A, а любое, не более чем счетное,
количество подпространств H
1
, H
2
, . . . , H
k
, . . . , образующих в Ω полную
группу событий:
P(B) = P(B/H
1
)P(H
1
)+P(B/H
2
)P(H
2
)+···+P(B/H
k
)P(H
k
)+. . . (2.12)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 38
- 39
- 40
- 41
- 42
- …
- следующая ›
- последняя »
