Составители:
Рубрика:
Глава 2 Случайные события и их вероятности 45
Рассмотрим событие, соответствующее высказыванию: «из n испыта-
ний ровно в m случаях произошло событие A». Обозначим это событие
E
n,m
. Очевидно, что оно распадается на частные случаи, имеющие вид
произведений m множителей A и n − m множителей
¯
A. Наприм ер, при
n = 3, m = 2
E
3,2
= AA
¯
A + A
¯
AA +
¯
AAA.
Обозначим вероятность
¯
A через q. Очевидно, что q = 1−p. Вычислим
с помощью умножения вероятности всех элементарных исходов, благо-
приятствующих E
n,m
. Они все равны P(A
1
A
2
. . . A
n
) = p
m
q
n−m
, где m
— число A
i
, равных A.
Теперь вероятность события E
n,m
можно найти по формул е
P(E
n,m
) = C
m
n
p
m
q
n−m
. (2.14)
Формула (2.14) называется «биномиальным законом расчета вероят-
ности», поскольку описывает слагаемые бинома Ньютона:
(p + q)
n
= C
0
n
p
0
q
n
+ C
1
n
p
1
q
n−1
+ ··· + C
n
n
p
n
q
0
.
Эта же формула в литературе называется формулой Бернулли по имени
создателя.
Задача 2.24. В контрольной работе пять задач. Вероятность не
решить любую из них равна 0.2. Какова вероятность, что будет реше-
но не менее трех задач?
Здесь q = 0.2, поэтому p = 0.8. Нужно найти вероятность суммы
E
5,3
+ E
5,4
+ E
5,5
. По теореме сложения и формуле (2.14) получаем:
P(E
5,3
+ E
5,4
+ E
5,5
) = P(E
5,3
) + P(E
5,4
) + P(E
5,5
) =
= C
3
5
p
3
q
2
+ C
4
5
p
4
q + C
5
5
p
5
=
= 10 · (0.8)
3
· (0.2)
2
+ 5 · (0.8)
4
· 0.2 + (0.8)
5
≈ 0.942.
Выясним, как меняется P(E
n,m
) при изменен ии m от нуля до n. Для
этого рассмотрим отношение
P(E
n,m+1
)
P(E
n,m
)
=
C
m+1
n
p
m+1
q
n−m+1
C
m
n
p
m
q
n−m
=
(n − m)p
(m + 1)q
= 1 +
np − q −m
mq + q
.
Если m 6 np − q, то отношение больше единицы , и при таких m ве-
роятность P(E
n,m
) растет. Если же m > np −q + 1 = np + p, то P(E
n,m
) с
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 42
- 43
- 44
- 45
- 46
- …
- следующая ›
- последняя »
