Теория вероятностей. Чурилова М.Ю. - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГПУ им. Герцена | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Глава 3 Случайные величины 57
того, какая веpоятностная модель может быть постpоена на пpостpанстве
элементаpных событий Ω. Конструируя вероятностную модель на R или
на каком-то его подмножестве, содержащем все значения случайной ве-
личины, пpиходится учитывать уже известные вероятности случайных
событий в Ω. Проиллюстрируем сказанное еще одним простым приме-
ром.
Задача 3.4. Стрелок попадает в мишень с постоянной вероят-
ностью 0.6. У него имеется всего тpи патрона, и он ведет стрельбу
до первого попадания. Случайная величина ξ — число истраченных па-
тронов. Множество V
ξ
, очевидно, равно {1, 2, 3}. Построить на нем
вероятностную модель (V
ξ
, F
ξ
, P
ξ
).
Введем на V
ξ
борелевское поле событий F
ξ
, состоящее из всех его
подмножеств. Каждому подмножеству надо приписать вероятность. Это
можно сделать, рассмотрев пространство элементарных событий Ω, со-
стоящее из трех элементов: ω
1
— «попал с первого выстрела»; ω
2
— «пер-
вый выстрел — промах, второй — попадание»; ω
3
— «первые два выстрела
– промахи, третий — любой». По теореме умножения вероятностей можно
вычислить вероятности элементарных исходов в Ω:
P
Ω
(ω
1
) = 0.6, P
Ω
(ω
2
) = 0.4 · 0.6, P
Ω
(ω
3
) = 0.4 · 0.4 · 1.
Случайная величина ξ отображает Ω на V
ξ
так, что ω
1
соответствует
число 1, ω
2
соответствует число 2, ω
3
соответствует число 3. Пpи этом
случайная величина пpинимает значение 1 тогда и только тогда, когда
наступает событие ω
1
; значение 2 — тогда и только тогда, когда наступает
ω
2
; значение 3 — тогда и только тогда, когда наступает ω
3
. Поэтому поло-
жим P
ξ
(1) = 0.6, P
ξ
(2) = 0.24, P
ξ
(3) = 0.16. Поскольку всякое событие A
из F
ξ
представляет собой объединение элементов V
ξ
, то P
ξ
(A) находится
суммированием вероятностей составляющих его элементарных событий
из V
ξ
. Эта вероятность, с другой стороны, равна P
Ω
(B), где B — это объ-
единение таких эл еме нтов Ω, которые ξ отображает в A. Например, если
A = {1; 2}, то
P
ξ
(A) = P
ξ
( {1}) + P
ξ
( {2}) = P
Ω
(ω
1
) + P
Ω
(ω
2
) = P
Ω
(B), B = ω
1
∪ ω
2
.
Таким образом, для вычисления вероятности события A из F
ξ
нахо-
дим такое событие B из F
Ω
, что A имеет место тогда и только тогда,
когда B.

Страницы