Теория вероятностей. Чурилова М.Ю. - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГПУ им. Герцена | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

58 Теория вероятностей
Подведем итоги сказанному выше и выделим основные принципы по-
строения вероятностных моделей на множестве V
ξ
значений случайной
величины ξ (аналогично, на включающем его множестве R).
1. Если на области определения Ω случайной величины ξ не удает-
ся построить подходящую стандартную вероятностную модель, с помо-
щью которой можно было бы найти вероятности попадания значений ξ
в интересующие исследователя подмножества V
ξ
, то применяется стати-
стическое исследование с последующим подбором одной из стандартных
моделей на V
ξ
или более широком множестве.
2. Для данного подмножества A множества V
ξ
назовем прообразом
в пространстве Ω множество B, состоящее из всех таких элементарных
событий, для которых значения ξ принадлежат A. Если A объявлено со-
бытием в V
ξ
, и существует модель ( Ω, F
Ω
, P
Ω
) на Ω, в которой B является
событием, то вероятности B и A должны быть связаны соотношением
P
ξ
(A) = P
Ω
(B). (3.1)
Действительно, ведь событие A происходит тогда и только тогда, когда
B. Если на V
ξ
введено борелевское поле событий F
ξ
, и удалось так по-
добрать модель ( Ω, F
Ω
, P
Ω
), что всякое событие из F
ξ
имеет прообразом
событие в F
Ω
, то соотношение (3.1) задает вероятностную функцию на
V
ξ
. Чтобы доказать это утверждение, надо проверить, выполняются ли
для F
ξ
аксиомы вероятности. Последнее следует из того, что прообра-
зы множеств, не имеющих общих точек, также не имеют общих точек; а
прообраз объединения множеств является объединением их прообразов.
(Докажите самостоятельно.)
Задача 3.5. Известно, что некий пакет весит целое число кило-
грамм, равновозможное от 1 до 7. Его взвешивают на весах с помощью
гирь из набора: 1, 2, 4 (кг). Гири кладут на одну чашку весов, пакет
— на другую. Число использованных гирь — случайная величина ξ. По-
строить вероятностную модель на V
ξ
.
Рассмотрим подробно функцию ξ. Для этого составим таблицу:
Вес пакета (в кг) 1 2 3 4 5 6 7
Число гирь (ξ) 1 1 2 1 2 2 3
Заметим, что число использованных гирь всегда определено одно-
значно (в противном случае мы не имели бы функции). Перестроим те-
перь эту таблицу так, чтобы каждому значению ξ соответствовал его
прообраз:

Страницы