Теория вероятностей. Чурилова М.Ю. - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГПУ им. Герцена | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Глава 3 Случайные величины 59
Число гирь (ξ) 1 2 3
Вес пакета {1,2,4} {3,5,6} {7}
В верхней строке — все элементы V
ξ
, в нижней — их прообразы, яв-
ляющиеся событиями в классической модели. По этой модели вычислим
вероятности указанных прообразов и положим их равными вероятностям
соответствующих значений ξ:
Число гирь (ξ) 1 2 3
Вероятность 3/7 3/7 1/7
Вероятности остальных событий в дискретном пространстве V
ξ
нахо-
дятся суммированием.
Задача 3.6. На отрезке AB единичной длины случайным образом
выбирается точка так, что вероятность ее попадания в любую часть
отрезка, имеющую длину, вычисляется по геометрической модели (то
есть равна этой длине, по скольку длина AB равна единице). Найти за-
кон распределения ξ — расстояния от выбранной точки до середины от-
резка C.
Область определения ξ — отрезок AB. Множество ее значений — чис-
ловой отрезок [0, 1/2] = V
ξ
. Объявим в V
ξ
событиями все точки и все
промежутки вида ( a, b ), входящие в [0, 1/2], а также все множества, ко-
торые могут получаться из указанных операцией дополнения до [0, 1/2].
Объявим событиями в V
ξ
и все множества, которые получаются в резуль-
тате не более, чем счетного объединения или пересечения ранее опреде-
ленных в V
ξ
событий. В результате получится борелевское поле событий
F
ξ
, удовлетворяющее аксиомам. Прообразом элементарного события {a}
является пара точек {A
1
; A
2
} на AB, равноудаленных от C (рис. 3.1).
Следовательно, вероятность получить конкретное расстояние равна ну-
лю. Прообразом числового интервала ( a, b ) является объединение от-
крытых отрезков B
1
A
1
и A
2
B
2
, симметричных относительно точки C
(эти отрезки выделены жирными линиями на рис. 3.1).
Сумма длин этих отрезков равна 2(b−a), следовательно, вероятность
события a < ξ < b, равна 2(b − a). Вероятности остальных событий в F
ξ
находятся по аддитивности.
В случае, когда какой-то из перечисленных этапов поиска закона рас-
пределения случайной величины не удается реализовать, пользуются по-
мощью статистики. Но и она не всегда помогает полностью выявить ве-
роятностн ые свойства этой величин ы.

Страницы