Теория вероятностей. Чурилова М.Ю. - 66 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГПУ им. Герцена | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Глава 3 Случайные величины 67
принимать в результате n измерений. Пусть, действительно, эти n изме-
рений сделаны. Их результатами являются числа: X
1
, X
2
, . . . , X
n
. Найдем
среднее арифметическое этих чисел:
M =
X
1
+ X
2
+ ··· + X
n
n
.
Если в числителе этой дроби привести подобные слагаемые, то он будет
равен x
1
· a
1
+ x
2
· a
2
+ . . . , где x
1
, x
2
, . . . — различные значения случай-
ной величины, a
1
, a
2
, . . . — их абсолютные частоты (то есть количества
значений x
1
, x
2
, . . . , наблюдавшихся среди данных n результатов изме-
рений). Если число измерений n велико (стремится к бесконечности), то
все возможные значения ξ будут получены на опыте. Перепишем среднее
значение в виде
M = x
1
·
a
1
n
+ x
2
·
a
2
n
+ . . .
Отношения абсолютных частот a
i
к n называются относительными ча-
стотами событий вида ξ = x
i
. При большом числе измерений эти отно-
сительные частоты должны мало отличаться от вероятностей p
i
, иначе
закон распределения неправильно подобран для данной случайной ве-
личины. Таким образом, при большом количестве измерений величина
среднего значения M должна мало отличаться от M
ξ
, если оно суще-
ствует.
Приведем далее без доказательства формулы для вычисления мате-
матического ожидания случайных величин, имеющих стандартные дис-
кретные распределения:
1) биномиальный закон: M
ξ
= n · p,
2) геометрический закон: M
ξ
= 1/p,
3) индикатор: M
ξ
= p,
4) закон Пуассона: M
ξ
= λ,
5) гипергеометрический закон: M
ξ
= n
1
· (m/n).
В случае, когда закон распределения не является стандартным , мож-
но найти математическое ожидание по определению.
Задача 3.12. В задачах 3.7–3.11 вычислить математические
ожидания случайных величин.
В задаче 3.7 имеем биномиальный закон р аспр ед еле ния с параметра-
ми n = 10, p = 1/3, следовательно, M
G
= 10/3. В задаче 3.8 идет речь о
распределении Пуассона, следовательно, M
F
= 2/3. Случайная величина
T в задаче 3.9 имеет геометрический закон распределения, поэтому M
T
=

Страницы