Составители:
Рубрика:
Глава 3 Случайные величины 69
D
T
= 90. В задаче 3.10 идет речь о гипергеометрическом распределении,
для которого n = 27, m = 10, n
1
= 3, следовательно,
D
S
=
30 · 17 · 24
27
2
· 26
.
В последней задаче, 3.11, вычислим дисперсию W по формуле (3.5):
81 ·
1
3
+ 64 ·
1
3
+ 49 ·
1
3
− 64 =
2
3
.
Как нетрудно заметить, дисперсия измеряется не в таких единицах,
как математическое ожидание: единицы измерения возводятся в квадрат.
Это не всегда удобно. Для единообразия единиц измерения из дисперс ии
извлекают квадр атный корень.
Определение среднего квадратического отклонения. Средним
квадратическим отклонением случайной величины ξ (не обязательно дис-
кретной) называется квадратный корень из ее дисперсии: σ
ξ
=
p
D
ξ
.
Рассмотрим теперь проблему определения минимального и нтер вала
вида (M
ξ
− r, M
ξ
+ r), в который значения ξ попадают с заданной веро-
ятностью γ. Если закон распределения дискретной случайной величины
известен, то такой интервал можно определить, добавляя одно за другим
значения ξ слева и справа от M
ξ
в множество {M
ξ
}. При этом вероят-
ности добавленных значений надо складывать, пока не получим число γ
или число больше н ег о. Для большинства случайных величин решение
такой задач и требует больши х вычислени й. Существует простой , но при-
ближенный метод получени я интервала вида (M
ξ
−r, M
ξ
+ r), в который
значения ξ попадают с вероятностью заведомо большей, чем γ. Этот ме-
тод не требует знания закона распределения, а только знание M
ξ
, D
ξ
и
γ.
Теорема 3.1 (неравенство Чебышева). Пусть случайная вели-
чина ξ имеет математическое ожидание M
ξ
и дисперсию D
ξ
. Тогда для
любого положительного числа r имеет место неравенство:
P
ξ
((M
ξ
− r, M
ξ
+ r)) > 1 −
D
ξ
r
2
. (3.6)
Это неравенство означает, что значения случайной величины ξ попа-
дают в интервал с центром в точке M
ξ
и любым заданным радиусом r с
вероятностью, которая больше или равна 1 − D
ξ
/r
2
.
Доказательство теоремы опускаем. Заметим, что она верна не только
для дискретных, но и для абсолютно непрерывных случайных вели чин ,
описанных в следующих параграфах.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 66
- 67
- 68
- 69
- 70
- …
- следующая ›
- последняя »
