Теория вероятностей. Чурилова М.Ю. - 69 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГПУ им. Герцена | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

70 Теория вероятностей
Для приближенного определения радиуса окрестности математиче-
ского ожидания, в которую значения случайной величины попадают с
вероятностью больше, чем γ, надо правую часть неравенства (3.6) при-
равнять числу γ.
Следствие. Если в неравенстве (3.6) вместо r подставить 3 · σ
ξ
, то
соответствующая вероятность будет не меньше, чем 8/9. Этот факт на-
зывают «правилом трех сигм».
Задача 3.14. Для случайной величины T из задачи 3.9 найти с
помощью неравенства Чебышева интервал (M
T
−r, M
T
+ r), в который
значения T попадают с вероятностью более, чем 0.9. (Таким образом
отбрасываются маловероятные значения из бесконечного множества
значений.)
Ранее мы уже подсчитали, что M
T
= 10, D
T
= 90. Для определения
r из неравенства Чебышева решим уравнение 1 − 90/r
2
= 0.9. Оно рав-
носильно r
2
= 900, откуда r = 30. Для сравнения, 3 · σ
T
= 9 ·
√
10, что,
примерно, равно 30, так как 0.9 приближенно равно 8/9. Таким образом,
приближенно, с вероятностью больше 0.9 случайная величина T прини-
мает значения от 1 до 39. В задаче 3.9 была опред еле на вероятность для
этого множества: она равна 0.984.
К неравенству Чебышева мы вернемся в разделе 3.8.
3.4. Задачи для самостоятельного решения
3.4.1. Первый уровень сложности
1. В елочной гирлянде старого образца все сто лампочек соединены
последовательно: есл и одна лампочка «не в порядке» (неисправна или
выкрутилась), то и вся г ир лянда не горит. Вероятность того, что одна
лампочка «не в порядке», равна 0.2 для каждой лампочки, независимо от
других. Пусть случайная величина ξ — это число лампочек в гирлянде ,
которые «не в порядке». Найдите закон распределения ξ, математическое
ожидание, дисперсию и r(0.9) с помощью неравенства Чебышева.
ПОДСКАЗКА. Биномиальный закон.
2. Все лампочки в старой гирлянде, кроме одной, «в порядке». Эта
одна лампочка м ожет равновозможно находиться на любом из ста мест.
Начинаем проверять всю цепочку, начиная с первой лампочки, пока не
найдем ту, что «не в порядке». Тепер ь ξ — число проверенных лампочек.

Страницы