Составители:
Рубрика:
Глава 3 Случайные величины 79
из них – множества «второй ступени» и так далее. В результате полу-
чается совокупность подмножеств R, каждое из которых получается из
точек и интервалов (−∞, x) с помощью не более, чем счетной цепоч-
ки операций объединения, пересеч ен ия или дополнения. По построению,
полученная совокупность подмножеств является борелевским полем со-
бытий (σ-алгеброй) и обозначается символом B (B готическое).
Упражнения
1. Докажите, что B, действительно, является борелевским полем со-
бытий.
2. Докажите также, что событиями в нем будут, в частности, множе-
ства вида:
[x, +∞), [x, y), (x, y], [x, y], (−∞, x], (x, +∞), (x, y).
3. Докажите, что пересечение счетного числа событий — событие (в
любом борелевском п оле).
После введения на R борелевского поля событий надо задать на этом
поле вероятностную функцию P
ξ
. Как это сделать? Для того, чтобы по-
нять принцип определения P
ξ
, принятого в теории вероятностей, рас-
смотрим сл ед ующую теорему, доказательство которой предоставим чи-
тателю в качестве упражнения.
Теорема 3.2. Пусть на борелевском поле событий B задана произ-
вольная вероятностная функция P (выполнены аксиомы вероятности).
Для вычисления значений этой функции от любых событий из B до-
статочно знать только ее значения P от событий вида (−∞, x) и тот
факт, что P(R) = 1. Вероятности же всех остальных событий поля
вычисляются на основании свойств вероятностной функции, заложен-
ных в аксиомы Колмогорова. В частности,
P( [a, +∞) ) = 1 − P( (−∞, a) ), (3.7)
P( [a, b) ) = P( (−∞, b) ) − P( (−∞, a) ), (3.8)
P({a}) = lim
n→∞
P
h
a, a +
1
n
. (3.9)
Вернемся теперь к проблеме построения вероятностной модели на
множестве R для случайной величины ξ. Как уже говорилось выше, сле-
дует различать два случая. В первом случае на области определения Ω
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 76
- 77
- 78
- 79
- 80
- …
- следующая ›
- последняя »
