Составители:
Рубрика:
Глава 3 Случайные величины 85
закона распределения случайной величины на R). Сперва определяются
вероятности событий типа (−∞, x), после чего вычисляются вероятно-
сти остальных событий «по аддитивности». Применение аддитивности
является обоснованным, если вероятностная функция определена соот-
ношением (3.1).
В случае, когда не удается найти модель на Ω и приходится прибе-
гать к помощи статистики, можно попытаться подобрать формулу для
функции распределения, приближенно вычисляя вероятности событий
вида (−∞, x), а затем восстановить по этой функции всю модель на R.
Успех реализации такого подхода, оказывается, полностью зависит от
свойств полученной «функции распределения». (Кавычки подчеркива-
ют, что распределения-то пока нет!) Для решения задачи восстановления
модели на R отметим необходимые свойства, которыми должна обладать
функция распределения любой случайной величины.
Теорема 3.4. Если функция F(x) определяется равенством (3.10)
как функция распределения случайной величины ξ, то она должна обла-
дать следующими свойствами:
1) 0 6 F(x) 6 1;
2) F(x) не убывает;
3) F(x) непрерывна слева;
4) lim
x→+∞
F(x) = 1;
5) lim
x→−∞
F(x) = 0.
Доказательство. Первое свойство функции распределения вытекает
из того, что ее значения являются ве роятностями, а вероятности любых
событий содержатся в промежутке [0, 1]. Второе свойство следует из ра-
венства (3.11) для любых действительных чисел a и b таких, ч то a < b.
Для доказательства третьего свойства зафиксируем произвольное
число a и рассмотрим любую пос лед овательность чисел x
n
, сходящуюся
слева к a. Покажем, что
lim
x
n
→a−0
F(x
n
) = F(a). (3.14)
Представим событие (−∞, a) в виде следующего объединения:
(−∞, a) = (−∞, a − 1) ∪
h
a − 1, a −
1
2
∪ ··· ∪
h
a −
1
k
, a −
1
k + 1
. . .
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 82
- 83
- 84
- 85
- 86
- …
- следующая ›
- последняя »
