Составители:
Рубрика:
86 Теория вероятностей
Обозначим компоненты этого объединения через A
1
, A
2
, . . . , соответ-
ственно. Вычислим вероятностную функцию от обеих частей равенства:
F(a) = P
ξ
(A
1
) +
∞
X
n=2
P
ξ
(A
k
).
Правая часть этого равенства является сходящимся к F(a) числовым
рядом, поскольку вероятностная функция обладает свойством счетной
аддитивности. Частичные суммы S
k
(k = 1, 2, . . . ) этого ряда равны,
соответственно, F(a − 1/k), откуда следует, что
lim
k→∞
F
a −
1
k
= F(a).
Рассмотрим теперь произвольное положительное число ε. Найд ем соот-
ветствующий ему номер K такой, что F(a) − F(a − 1/K) < ε. По числу
a − 1/K подберем номер N такой, что при всех n > N выполнено нера-
венство: x
n
> a − 1/K. Тогда в силу монотонности функции F(x) будет
выполнено неравенство: F(a) − F(x
n
) < ε для всех эти х n. Соотношение
(3.14) доказано.
Для доказательства четвертого свойства представим множество R в
виде счетного объединения:
R = (−∞, 1) ∪ [1, 2) ∪ ··· ∪ [n, n + 1) . . .
Вычислим вероятностную функцию от этого объединения. С одной сто-
роны, ее значение равно единице, с другой — пределу частичных сумм
ряда, которые р авны F(n). Рассмотрим теперь произвольную последо-
вательность чисел x
n
, стремящуюся к бесконечности, и положительное
число ε. При достаточно больших значениях n член ы последовательно-
сти становятся больше некоторого числа K такого, что 1 − F(K) < ε.
Следовательно, 1 − F(x
n
) < ε для членов последовательности с такими
номерами. Что и требовалось доказать.
Пятое свойство докажите в качестве упражнения, воспользовавшис ь
равенством (3.7).
Следствие. Скачок функции F(x) в произвольной точке a равен ве-
роятности события ξ = a, то есть
lim
x→a+0
F(x) − lim
x→a−0
F(x) = P
ξ
({a}). (3.15)
Если функция распределения непрерывна, то вероятность любого со-
бытия вида ξ = a равна нулю.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 83
- 84
- 85
- 86
- 87
- …
- следующая ›
- последняя »
