Теория вероятностей. Чурилова М.Ю. - 86 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГПУ им. Герцена | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Глава 3 Случайные величины 87
Доказательство. Левосторонний предел в точке a существует и ра-
вен F(a), как показано при доказательстве теоремы 3.4. Сравним равен-
ства (3.12) и (3.15). Для того, чтобы доказать справедливость последнего,
достаточно установить, что правосторонний предел функции F(x) в точ-
ке a существует для любой последовательности чисел x
n
, сходящейся к
точке a справа. Это делается точно так, как при доказательстве свойств
3) и 4) функции F(x) в теореме 3.5.
Равенство нулю вероятности события ξ = a при непрерывной функ-
ции распределения вытекает непосредственно из формулы (3.15).
Задача 3.18. Могут ли следующие функции являться функциями
распределения для каких-нибудь случайных величин?
а) F(x) =
1
x
2
+ 1
;
б) F(x) =
(
0 при x < 0,
1 при x > 1;
в) F(x) =
0 при x 6 0,
x/2 при 0 < x 6 2,
1 при x > 2.
В случае а) ответ отрицательный, поскольку данная функция убыва-
ет при положительных зн ачениях x. Не выполнены второе и четвертое
необходимые условия, указанные в теореме 3.4. В случае б) не выполнено
третье условие. В случае в) функция обладает необходимыми свойства-
ми 1) – 5), перечисленными в теореме 3.4, но это еще не дает нам права
утверждать, что перед нами — функция распределения какой-то слу-
чайной величины. Исходя из опыта решения задач, мы можем описать
случайную величину, имеющую такую функцию распределения. Пусть
результатом эксперимента является число ξ из промежутка [0, 2]. Пусть
на R построена геометрическая модель, в которой вероятность попадания
значения ξ в точку равна нулю, а вероятность попадания значения ξ в
промежуток [a, b], содержащийся в [0, 2], определяется через отношение
длин: (b − a)/2. Тогда функция распределения им еет вид в).
Итак, остается невыясненным вопрос: является ли функция F(x)
функцией распределения какой-нибудь случайной величины, если она об-
ладает всеми необходимыми свойствами, перечисленными в теореме 3.4?
Ответом на этот вопрос является следующая теорема.

Страницы