Теория вероятностей. Чурилова М.Ю. - 87 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГПУ им. Герцена | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

88 Теория вероятностей
Теорема 3.5. Пусть дана функция F(x), определенная на R и об-
ладающая свойствами 1) – 5), перечисленными в теореме 3.4. Тогда
существует неотрицательная счетно-аддитивная функция P(A), опре-
деленная на B, такая, что P(R) = 1 и P( (−∞, x) ) = F(x).
Доказательство этой теоремы основано на некоторых фактах из тео-
рии меры Лебега. Здесь мы не приводим это доказательство, поскольку
мера Лебега обычно не изучается студентами нематематическ их специ-
альностей.
Определив по функции F(x) вероятностную функцию P(A) на B, мы
можем указать случайную величину ξ, имеющую такое распределение на
R: пусть ξ отображает R взаимно однозначно на R, то есть результатом
некоторого абстрактного эксперимента является действительное числ о, а
вероятности событий из B вычисляются с помощью P(A). Случайная ве-
личина с заданной функцией распределения не является, строго говоря,
единственной. (Подумайте, почему.)
В заключение приведем класси фикацию случайных величин, осно-
ванную на свойствах соответствующих и м функций распределения на R.
Определение. Случайная величина ξ называется непрерывной, если
для нее существует распределение на R, которому соответствует непре-
рывная функция распределения F(x). Распределение также называется
непрерывным.
Случайная величина ξ называется дискретной, если для нее суще-
ствует pасп pед еле ни е на R с кусочно-постоянной функцией F. Распреде-
ление в этом случае называется дискретным.
Все остальные случайные величины, имеющие вероятностные модели
на R, относятся к смешанному типу. Распределения называются рас-
пределениями смешанного типа.
Проанализировав рис. 3.2–3.4, приходим к выводу, что случайная ве-
личина, рассмотренная в первом примере, является непрерывной, во вто-
ром — дискретной, в третьем — с меш анног о типа.
Замечание. Ранее уже давалось определение дискретной случайной
величины как величины, принимающей с ненулевой вероятностью не бо-
лее, чем счетное число значений. Функция распределения такой слу-
чайной величины, очевидно, является кусочно-постоянной. В качестве
упражнения докажите, что если случайная величина ξ имеет кусочно-
постоянную функцию р аспр еде лен ия F(x), то ξ является дискретной
в смысле «старого» определения. Воспользуйтесь известным в теории

Страницы