Теория вероятностей. Чурилова М.Ю. - 89 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГПУ им. Герцена | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

90 Теория вероятностей
то подынтегральная функция p(x) называется функцией плотности рас-
пределения вероятности случайной величины ξ.
(В технических приложениях иногда используется более общее опре-
деление плотности, которое распространяется и на случайные величины,
имеющие разрывные функции распределения. При этом плотность по-
нимается как обобщенная функция, значения которой в точках разрыва
F(x) определяются с помощью дельта-функции Дирака.)
Пус ть функция распределения удовлетворяет усл овию (3.18). Тогда
для любых чисел c и x выполнено равенство:
F(x) − F(c) =
x
Z
c
p(x) dx,
следовательно, F(x) абсолютно непрерывна на R. Поэтому функции рас-
пределения, удовлетворяющие равенству (3.18) и сами случайные вели-
чины, имеющие такие функции распределения, в теории вероятностей
называются абсолютно непрерывными.
Простейшее достаточное условие существования функции плотности
распределения сформулируем в виде теоремы.
Теорема 3.6. Если функция распределения F(x) непрерывна на R
и имеет непрерывную произво дную всюду, за исключением разве лишь
конечного числа точек, то справедливо соотношение (3.18), в котором
функция p(x) совпад ает с F
0
(x) во всех точках ее непрерывности. В
точках разрыва производной F(x) функцию p(x) можно доопределить
произвольно.
Доказательство. В рассматриваемом случае выполнены условия су-
ществования интеграла от F
0
(x) на любом промежутке вида (c, x). Этот
интеграл равен F(x) − F(c). Пере ходя к пределу при c стремящемся
к −∞, получаем соотношение (3.18), в котором под интегралом стоит
F
0
(x). Это соотношение остается справедливым и для любой другой
подынтегральной функции p(x), совпадающей с F
0
(x) во всех точках
ее непрерывности.
Рассмотрим функции распределения, приведенные в задачах 3.15–
3.17. Выясним, какие из них могут быть представлены в виде интеграла
(3.18). Если это возможно, найдем аналити чес кий вид соответствующих
функций плотности распределения и построим их графики.

Страницы