Составители:
Рубрика:
Глава 3 Случайные величины 93
точках непрерывности p(x), и выполнено равенство:
+∞
Z
−∞
p(x) dx = 1. (3.20)
Доказательство. Пусть точка x
0
является точкой непрерывности
функции p(x), но p(x
0
) < 0. Можно показать, что в точке x
0
существует
производная функции F(x), которая равна p(x
0
). Такого быть не может,
поскольку непрерывная функция F(x) нигде не убывает.
Для доказательства свойства (3.20) достаточно воспользоваться свой-
ствами функции распределения F(x).
В качестве пр остого упражнения докажите теперь следующую теоре-
му.
Теорема 3.8. Пусть функция p(x) неотрицательна, интегрируе-
ма на любом промежутке действительной оси (в смысле Лебега или,
в частности, Римана), причем выполнено равенство (3.20). Тогда эта
функция является функцией плотности для некоторой случайной ве-
личины.
Задача 3.19. При каких значениях параметра A функция
p(x) =
A
1 + x
2
является функцией плотности распределения некоторой абстрактной
случайной величины?
Из теоремы 3.7 следует, что значение A должно быть неотрицательно.
Кроме того, формула (3.20) дает возможность вычислить единственное
возможное в этом случае значение параметра A. Действительно,
1 =
+∞
Z
−∞
A
1 + x
2
dx = Aπ,
следовательно, A = 1/π. Применяя формулу (3.18), получаем, что при
таком значении A функция распределения имеет вид:
F(x) =
1
π
arctg x +
π
2
.
Эта функция удовлетворяет условиям теоремы 3.5 предыдущего раздела,
а значит является функцией распределения некоторой случайной вели-
чины.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 90
- 91
- 92
- 93
- 94
- …
- следующая ›
- последняя »
