ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
одному из табличных). К преобразованиям относятся, в первую очередь,
алгебраические преобразования, замена переменной и интегрирование по
частям.
Вычисления интегралов путем алгебраических преобразований были
рассмотрены в предыдущем параграфе.
Данный параграф посвящен методу замены переменной.
Пусть функция
(
)
xf непрерывна на интервале
(
)
ba, и
(
)
tx ϕ= , где
функция
(
)
tϕ непрерывно дифференцируема на интервале
(
)
βα, ; причем
функция
(
)
tϕ отображает интервал
(
)
βα, в интервал
(
)
ba, . Пусть также
функция
(
)
tx ϕ= имеет обратную
(
)
xt
1−
= ϕ , определенную на
(
)
ba, .
Тогда
()
(
)
()
()( )()
∫
′
∫
=
′
=
=
= dtttf
dttdx
tx
dxxf ϕϕ
ϕ
ϕ
.
После вычисления интеграла в правой части следует вернуться к старой
переменной
x
, то есть вместо новой переменной
t
подставить его значение
(
)
x
1−
ϕ .
Пример 1.2.
∫
+ dxxx 5 .
Решение. Чтобы избавиться от корня, положим tx =+ 5 . Тогда
5
2
−= tx
и, следовательно,
tdtdx 2
=
. После подстановки получим
(
)
(
)
∫ ∫
=−=⋅−=
∫
+ dttttdtttdxxx
242
102255
( ) ( )
CxxC
tt
++++=+−=
2
3
2
5
35
5
3
10
5
5
2
3
10
5
2 .
*Замечание 2.1. При вычислении интегралов вида
∫
++ cbxaxx
dx
2
полезно применять замену переменной
t
x
1
= .
*Пример 2.2.
∫
−1
2
xx
dx
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- …
- следующая ›
- последняя »
