ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
10.1. Интегралы с бесконечным промежутком интегрирования
(несобственные интегралы I рода)
Определение 10.1. Пусть функция
(
)
xf определена на промежутке
[
)
+∞,a и интегрируема на любом промежутке
[
]
ba, , принадлежащем этому
промежутку. Если существует конечный предел:
()
∫
+∞→
b
a
b
dxxf
lim
, то этот
предел называется несобственным интегралом от функции
(
)
xf по
промежутку
[
)
+∞,a и обозначается
()
∫
+∞
a
dxxf .
Таким образом,
()
∫
+∞
a
dxxf =
()
∫
+∞→
b
a
b
dxxf
lim
. (10.1)
Определение 10.2. Несобственный интеграл I рода называется
сходящимся, если предел конечен. Если же предел бесконечен или не
существует, то несобственный интеграл называется расходящимся.
Пример 1.10.
∫
+∞
1
3
x
dx
.
Решение.
2
1
2
1
2
1
lim
2
1
limlim
2
1
2
1
3
1
3
=
+−=
−=
∫
=
∫
+∞→+∞→+∞→
∞+
bxx
dx
x
dx
b
b
b
b
b
.
Несобственный интеграл сходится.
Пример 2.10.
∫
+∞
1
x
dx
.
Решение.
( ) ( )
=−==
∫
=
∫
+∞→+∞→+∞→
+∞
1lnln
lim
ln
limlim
1
11
bx
x
dx
x
dx
b
b
b
b
b
(
)
+∞==
+∞→
b
b
ln
lim
.
Интеграл расходится.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 79
- 80
- 81
- 82
- 83
- …
- следующая ›
- последняя »
