Системы автоматического управления. Цветов М.А. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

Критерий устойчивости Гурвица формулируется следующим образом:
система устойчива, если все определители Гурвица больше нуля, т. е.
.0,...,0,0
21
>∆>∆>∆
n
Раскрывая
n
∆ по последнему столбцу, получим
10 −
∆
=
∆
nn
a .
Так как
,0
0
>a то для проверки устойчивости системы достаточно
определить знаки только до
1−
∆
n
определителя. Если ,0=
∆
n
то система
находится на границе устойчивости.
Пример. Найти условия устойчивости системы, передаточная функция
которой в разомкнутом состоянии имеет вид
)1)(1(
)1(
)(
31
2
pTpTp
pTK
pH
++
+
=
.
Чтобы воспользоваться критерием устойчивости Гурвица найдем
передаточную функцию замкнутой системы
)1()1)(1(
)1(
)(1
)(
)(
231
2
pTKpTpTp
pTK
pH
pH
pW
++++
+
=
+
=
.
Приравняв к нулю знаменатель
)( pW , получим характеристическое
уравнение
0)1()()(
2
2
31
3
31
=+++++= KpkTpTTpTTpA ,
из коэффициентов которого составим матрицу Гурвица (n = 3).
KTT
KTTT
KTT
31
231
31
0
01
0
+
+
+
.
Для устойчивости необходимо, чтобы все определители Гурвица были
больше нуля
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>∆⋅=∆
>−++=∆
>+=∆
0
0)1)((
0
23
312312
311
K
TKTKTTT
TT
.
Первое из этих неравенств выполняется всегда, т. к. постоянные
времени T
1
, T
2
, T
3
по физическому смыслу всегда положительны. Решив
второе неравенство, найдем условие устойчивости системы
21213
31
)( TTTTT
TT
KK
kp
−−
+
=<
.
Из последнего выражения следует, что если коэффициент усиления
К системы будет меньше некоторого критического значения (К
kp
) , то
система будет устойчива. Если К > К
kp
, то система работать не будет.
Критерий Гурвица удобно использовать, когда порядок системы (n)
не очень высок. В противном случае придется решать систему многих
неравенств.

Страницы