ВУЗ:
Составители:
44
Результаты расчета записываем в таблицу
№
(шаг)
0 1 2 3 4
х
3 4,032 4,003 4,005 4,001
у
1,2 1,84 1,97 1,994 1,998
Процесс сходится х = 4; у = 2.
3.2.3. Метод Ньютона – Рафсона
Обобщение метода касательных на случай системы нелинейных
уравнений обычно называют методом Ньютона - Рафсона. Этот метод
надежно сходится лишь в том случае, если начальное приближение дос-
таточно близко к истинному решению. Поэтому его чаще всего приме-
няют для уточнения найденного решения системы уравнений. Скорость
сходимости метода высокая (примерно квадратичная).
Прежде чем рассмотреть
суть метода Ньютона - Рафсона, напом-
ним, что формула Тейлора для функции одного аргумента может быть
записана в виде
,)(
)!1(
1
)(
!
1
...)(
!2
1
)(
!1
1
)()(
1
)1(
2
'''
xxx
f
n
x
x
f
n
x
x
f
xx
f
xfxxf
n
n
n
n
ΔΔ⋅Θ+
+
+Δ+
++Δ+Δ+=Δ+
+
+
где Θ- некоторое положительное число, меньшее единицы: 0 < Θ < 1 ,
x
x
f
xx
f
2
"'
)( ,)( ΔΔ – дифференциалы первого, второго и т. д. порядков.
Для функции нескольких переменных формула Тейлора записы-
вается аналогично, только дифференциалы берутся
полные. Так для
двух аргументов формула принимает вид
f (x + Δx, у + Δу) =
[]
[]
...),(),(2),(
!2
1
),(),(
!1
1
),(
2""
2
"
''
+Δ+ΔΔ+Δ+
+Δ+Δ+=
у
уx
f
ухуx
f
x
уx
f
ууx
f
xуx
f
уxf
ууxуxx
ух
Для функции, имеющей n аргументов, запись формулы Тейлора
трудно обозрима и выполняется при использовании специальных ус-
ловных обозначений (см., например, М.Я. Выгодский. Справочник по
высшей математике. 1956, с. 653).
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 42
- 43
- 44
- 45
- 46
- …
- следующая ›
- последняя »
