Дискретные системы и цифровая обработка сигналов. Дахнович А.А. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

1.2. СПЕКТРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИГНАЛОВ
1.2.1. НЕПЕРИОДИЧЕСКИЕ СИГНАЛЫ
Любой сложный непериодический сигнал s (t), удовлетворяющий известным математическим условиям (см. курс выс-
шей математики), может быть представлен в виде
∫
∞
∞−
ω
ωω
π
= deSts
tj
)(
2
1
)(
, (1.1)
где
∫
∞
∞−
ω−
=ω dtetsS
tj
)()( .
Вышеуказанные формулы называются преобразованием Фурье (ПФ): первая называется обратным ПФ, а вторая – пря-
мым ПФ.
Альтернативная форма ПФ:
∫
∞
∞−
π
= dfefSts
ftj2
)()( ;
∫
∞
∞−
π−
= dtetsfS
ftj2
)()( . (1.1′)
S (ω) и S (f) называются спектральной плотностью сигнала s (t). Это комплексные величины, т.е.
)(
)()(
ωϕ
ω=ω
j
eSS .
Свойства преобразования Фурье:
1) ПФ линейно, т.е.
)()()()(
)()(
)()(
21
ПФ
21
2
ПФ
2
1
ПФ
1
fSfStsts
fSts
fSts
β+α→β+α⇒
→
→
.
2) Если s(t) – вещественный сигнал, то
)(*)( fSfS
=
−
.
3) Если )()(
ПФ
fSts → , то
0
2
ПФ
0
)()(
ftj
efStts
π−
→− .
Пример 1. Спектральная плотность прямоугольного видеоимпульса (рис. 1.1).
Рис. 1.1
В приведенном примере спектр сигнала оказался бесконечным. Это соответствует общему правилу: спектр сигнала ко-
нечной длительности бесконечен, и, наоборот, сигнал с конечным спектром имеет бесконечную длительность.
Для сигнала с бесконечным спектром вводят понятие эффективной ширины спектра ∆f
эфф
, под которой понимают ту
область спектра, которая несет заранее оговоренную долю энергии всего сигнала. Для нахождения ∆f
эфф
используют форму-
лу Рэлея для энергии сигнала s (t):
∫∫
∞
∞−
∞
∞−
== dffSdttsE
s
2
2
)()( , (1.2)
согласно которой энергия любого сигнала есть результат суммирования вкладов от различных интервалов частотной оси.
Если применить эту формулу к примеру 1, то окажется, что интегрирование в пределах основного лепестка спектра прямо-
угольного видеоимпульса дает 90 % энергии этого импульса. Таким образом, если исходить из 90 %-ного критерия, эффек-
t
s
(
t
)
U
2
и
τ
−
2
и
τ
0
ПФ
S (f)
f
0
∆
f
эфф
и
2
τ
−
и
1
τ
−
и
3
τ
и
2
τ
и
1
τ
и
τ
U
x
x
sin
и
3
τ
−

Страницы