Уравнения математической физики. Сборник задач. Даишев Р.А - 49 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

U(x, t) =
1
2a
√
πt
∞
Z
−∞
f(ξ)e
−
(x−ξ)
2
4a
2
t
dξ
∂U(ξ,t)
∂t
= a
2
∂
2
U(ξ,t)
∂ξ
2
1
√
2π
e
−iλξ
ξ −∞ ∞
U
ξ → ±∞.
1
√
2π
∞
Z
−∞
∂U
∂t
e
−iλξ
dξ =
∂
∂t
1
√
2π
∞
Z
−∞
Ue
−iλξ
dξ =
d
¯
U(λ, t)
dt
=
a
2
1
√
2π
∞
Z
−∞
∂
2
U
∂ξ
2
e
−iλξ
dξ = a
2
1
√
2π
∂U
∂ξ
e
−iλξ
|
ξ=∞
ξ=−∞
+
+a
2
1
√
2π
iλUe
−iλξ
|
ξ=∞
ξ=−∞
− a
2
λ
2
1
√
2π
∞
Z
−∞
Ue
−iλξ
dξ =
−a
2
λ
2
¯
U(λ, t).
¯
U :
d
¯
U
dt
+ a
2
λ
2
¯
U = 0.
¯
U(λ, t) =
1
√
2π
∞
Z
−∞
U(ξ, t)e
−iλξ
dξ
                     ÎÒÂÅÒÛ È ÓÊÀÇÀÍÈß.

70.                                   ∞
                                   Z
                              1             (x−ξ)2
                  U (x, t) = √       f (ξ)e− 4a2 t dξ
                            2a πt −∞
                                                               2
   Ð å ø å í è å. Óìíîæèì îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ ∂U∂t
                                                (ξ,t)
                                                      = a2 ∂ U∂ξ(ξ,t)
                                                                 2
    1
íà √2π e −iλξ
              è ïðîèíòåãðèðóåì ïî ξ îò −∞ äî ∞, ïðåäïîëàãàÿ,
÷òî ôóíêöèÿ U è åå ïðîèçâîäíûå äîñòàòî÷íî áûñòðî ñòðåìÿòñÿ
ê íóëþ ïðè ξ → ±∞. Èíòåãðèðóÿ ïî ÷àñòÿì, ïîëó÷èì:
              ∞                           ∞
       1 Z ∂U −iλξ      ∂ 1 Z                 dŪ (λ, t)
      √          e dξ =   √      U e−iλξ dξ =            =
        2π −∞ ∂t        ∂t 2π
                              −∞
                                                  dt

                   ∞
          2 1 Z ∂ 2 U −iλξ       2 1 ∂U −iλξ ξ=∞
         a √            e  dξ = a √       e |ξ=−∞ +
             2π −∞ ∂ξ 2             2π ∂ξ
                                            Z     ∞
           21         −iλξ ξ=∞     2 2 1
        +a √    iλU e     |ξ=−∞ − a λ √       U e−iλξ dξ =
             2π                         2π −∞

                             −a2 λ2 Ū (λ, t).
Òåì ñàìûì ìû ïîëó÷èëè äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ïåðâîãî
ïîðÿäêà äëÿ Ū :

                         dŪ
                             + a2 λ2 Ū = 0.                       (1)
                         dt
Èç ðàâåíñòâà
                                     ∞
                                1 Z
                   Ū (λ, t) = √       U (ξ, t)e−iλξ dξ
                                 2π −∞


                                    49

Страницы