Уравнения математической физики. Сборник задач. Даишев Р.А - 50 стр.

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ВУЗ: 

КФУ | Казань

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Рубрика: 

t = 0
¯
U
¯
U(λ, 0) =
1
√
2π
∞
Z
−∞
U(ξ, 0)e
−iλξ
dξ =
1
√
2π
∞
Z
−∞
f(ξ)e
−iλξ
dξ =
¯
f(λ).
¯
U(λ, t) =
¯
f(λ)e
−a
2
λ
2
t
.
U(x, t) =
1
√
2π
∞
Z
−∞
¯
U(λ, t)e
iλx
dλ =
1
√
2π
∞
Z
−∞
¯
f(λ)e
−a
2
λ
2
t
e
iλx
dλ =
=
1
2π
∞
Z
−∞
f(ξ)dξ
∞
Z
−∞
e
−a
2
λ
2
t
e
iλ(x−ξ)
dλ =
=
1
π
∞
Z
∞
f(ξ)dξ
∞
Z
0
e
−a
2
λ
2
t
cos λ(x − ξ)dλ =
1
2a
√
πt
∞
Z
−∞
f(ξ)e
−
(x−ξ)
2
4a
2
t
dξ.
∞
Z
0
e
−α
2
λ
2
cos βλdλ =
√
π
2α
e
−
β
2
4α
2
,
U(x, t) =
1
2a
√
π
t
Z
0
dτ
∞
Z
−∞
f(ξ, τ)
e
−
(x−ξ)
2
4a
2
(t−τ)
√
t − τ
dξ.
U(x, t) =
1
2a
√
πt
∞
Z
0
f(ξ)
·
e
−
(x−ξ)
2
4a
2
t
− e
−
(x+ξ)
2
4a
2
t
¸
dξ.
ïðè t = 0 ïîëó÷èì íà÷àëüíîå óñëîâèå äëÿ Ū :
                        ∞                                      ∞
              1 Z                        1 Z
 Ū (λ, 0) = √       U (ξ, 0)e−iλξ dξ = √       f (ξ)e−iλξ dξ = f¯(λ).
               2π −∞                      2π −∞

Ðåøåíèå äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (1) ñ ó÷åòîì íà÷àëüíî-
ãî óñëîâèÿ èìååò âèä:

                               Ū (λ, t) = f¯(λ)e−a
                                                      2 λ2 t
                                                               .

Ïðèìåíåíèå îáðàòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå äàåò:
                        ∞                                  ∞
             1 Z              iλx    1 Z ¯          2 2
 U (x, t) = √       Ū (λ, t)e dλ = √       f (λ)e−a λ t eiλx dλ =
              2π −∞                   2π −∞
                     ∞         Z∞
                  1 Z                2 2
               =       f (ξ)dξ    e−a λ t eiλ(x−ξ) dλ =
                 2π
                            −∞             −∞
      Z∞       Z∞                                         Z        ∞
  1                     −a2 λ2 t                     1             (x−ξ)2
=    f (ξ)dξ        e              cos λ(x − ξ)dλ = √       f (ξ)e− 4a2 t dξ.
  π∞                                               2a πt −∞
               0

Ïðè èíòåãðèðîâàíèè èñïîëüçîâàëàñü ôîðìóëà:
               Z∞                     √
                    −α2 λ2              π − β22
                  e        cos βλdλ =    e 4α ,
                                      2α
                        0

äîêàçûâàåìàÿ äèôôåðåíöèðîâàíèåì ïî ïàðàìåòðó.
71.                                      2      (x−ξ)
                            t    Z∞
                        1 Z
                                              −
                                             e 4a2 (t−τ )
            U (x, t) = √      dτ    f (ξ, τ ) √           dξ.
                      2a π                      t−τ
                                       0    −∞

72.                                   ∞         ·                      ¸
                       1 Z           (x−ξ)2     (x+ξ)2
           U (x, t) = √      f (ξ) e− 4a2 t − e− 4a2 t dξ.
                     2a πt 0

                                            50

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