Уравнения математической физики. Сборник задач. Даишев Р.А - 52 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

=
1
π
∞
Z
0
f(ξ)dξ
∞
Z
0
e
−a
2
λ
2
t
[cos λ(x − ξ) − cos λ(x + ξ)]dλ =
=
1
2a
√
πt
∞
Z
0
f(ξ)
·
e
−
(x−ξ)
2
4a
2
t
− e
−
(x+ξ)
2
4a
2
t
¸
dξ.
U(x, t) =
1
2a
√
πt
∞
Z
0
f(ξ)
·
e
−
(x−ξ)
2
4a
2
t
+ e
−
(x+ξ)
2
4a
2
t
¸
.
U(x, t) =
x
2a
√
π
t
Z
0
e
−
x
2
4a
2
(t−τ)
(t − τ)
3
2
ϕ(τ)dτ.
U (x, t) =
1
2a
t
Z
0
dτ
x−a(t+τ)
Z
x−a(t−τ)
f(ξ, τ)dξ.
U(x, t) =
2a
π
∞
Z
0
dλ
l
Z
0
µ(τ) sin λx sin aλ(t − τ)dτ.
U (x, t) =
T
2a
√
πt
"
−
0
R
−h
e
−
(τ −x)
2
4a
2
t
dτ +
h
R
0
e
−
(τ −x)
2
4a
2
t
dτ
#
.
U(x, t) =
U
0
2a
√
π
∞
R
−∞
e
−
τ
2
l
2
e
−
(τ −x)
2
4a
2
t
.
U(x, t) =
Q
cρσ
G(x, ξ, t), G(x, ξ, t) =
1
a
√
πt
e
−
(x−ξ)
2
4a
2
t
.
Q, ξ t
(ξ −δ, ξ + δ),
          ∞        Z∞
        1Z             2 2
      =     f (ξ)dξ e−a λ t [cos λ(x − ξ) − cos λ(x + ξ)]dλ =
        π
          0           0
                             ∞                    ·                              ¸
                 1 Z           (x−ξ)2     (x+ξ)2
              = √      f (ξ) e− 4a2 t − e− 4a2 t dξ.
               2a πt 0
73.                                       ∞                 ·                            ¸
                       1 Z           (x−ξ)2     (x+ξ)2
           U (x, t) = √      f (ξ) e− 4a2 t + e− 4a2 t .
                     2a πt 0
74.                                                                 2
                                 t −    x
                            x Z e 4a2 (t−τ )
                U (x, t) = √                3 ϕ(τ )dτ.
                          2a π     (t − τ ) 2
                               0

75.
                                                  t         x−a(t+τ )
                            1 Z                               Z
                U (x, t) =      dτ                                      f (ξ, τ )dξ.
                           2a
                                              0          x−a(t−τ )

76.
                             ∞                l
                     2a Z   Z
          U (x, t) =      dλ µ(τ ) sin λx sin aλ(t − τ )dτ.
                     π
                            0             0

Ó ê à ç à í è å. Ïðèìåíèòü
                     "     ñèíóñ - ïðåîáðàçîâàíèå#Ôóðüå.
                                     R0               (τ −x)2           Rh   (τ −x)2
77.    U (x, t) =     T
                      √
                    2a πt
                                −         e−            4a2 t   dτ + e−        4a2 t   dτ .
                                    −h                                  0
                     U√     R∞ − τ 2 − (τ −x)2
78.    U (x, t) =     0
                    2a π
                                 e
                                 l2      4a2 te                 .
                           −∞
                                                                                         (x−ξ)2
79.               Q
      U (x, t) = cρσ G(x, ξ, t), ãäå G(x, ξ, t) = a√1πt e− 4a2 t .
Ó ê à ç à í è å. Ìîæíî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî êîëè÷åñòâà òåïëà
Q, ìãíîâåííî âûäåëåâøååñÿ â òî÷êå ξ â ìîìåíò t, ìãíîâåííî æå
ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëÿåòñÿ ïî ìàëîìó èíòåðâàëó (ξ − δ, ξ + δ),




                                                       52

Страницы