Уравнения математической физики. Сборник задач. Даишев Р.А - 55 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

γ(x) = x :
x
0
Z
0
J
n
Ã
µ
(n)
m
x
0
x
!
J
n
µ
(n)
k
x
0
x
xdx = δ
km
x
2
0
2
h
J
0
n
(µ
(n)
m
)
i
2
,
µ
(n)
k
k J
n
(x).
y
00
(1 − x
2
) − 2xy
0
+ m(m + 1)y = 0.
(−1, 1) y
m
y(1) = 1
m y
m
= P
m
(x).
P
m
(x) =
1
m!2
m
·
d
m
dx
m
(x
2
− 1)
m
.
(−1, 1) ρ(x) = 1 :
1
Z
−1
P
i
(x)P
k
(x)dx = 0
i 6= k. i = k
1
Z
−1
[P
k
(x)]
2
dx =
2
2k + 1
.
Ôóíêöèè Áåññåëÿ îáëàäàþò ñâîéñòâîì îðòîãîíàëüíîñòè ñ âåñî-
âîé ôóíêöèåé γ(x) = x :

                      Ã         !              
           Zx0                         (n)
                           (n)
                          µm          µk             x2 h          i2
                 Jn            x Jn       x xdx = δkm 0 Jn0 (µ(n)
                                                               m   )   ,
                           x0          x0              2
           0

     (n)
ãäå µk - k - é ïîëîæèòåëüíûé êîðåíü ôóíêöèè Jn (x).
   Óðàâíåíèå Ëåæàíäðà íóëåâîãî ïîðÿäêà èìååò âèä:

                          y 00 (1 − x2 ) − 2xy 0 + m(m + 1)y = 0.

Îãðàíè÷åííîå íà èíòåðâàëå (−1, 1) ðåøåíèå ym óðàâíåíèÿ Ëå-
æàíäðà, óäîâëåòâîðÿþùåå äîïîëíèòåëüíîìó óñëîâèþ y(1) = 1,
íàçûâàåòñÿ ïîëèíîìîì Ëåæàíäðà ñòåïåíè m: ym = Pm (x). Ïî-
ëèíîì Ëåæàíäðà îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ýòèìè óñëîâèÿìè; îí
ðàâåí
                            1     dm 2
                Pm (x) =        ·   (x − 1)m .
                          m!2m dxm
Ýòà äèôôåðåíöèàëüíàÿ ôîðìóëà äëÿ ïîëèíîìîâ Ëåæàíäðà íà-
çûâàåòñÿ ôîðìóëîé Ðîäðèãà.
   Äâà ðàçëè÷íûõ ïîëèíîìà Ëåæàíäðà îðòîãîíàëüíû äðóã äðó-
ãó íà èíòåðâàëå (−1, 1) ñ âåñîâîé ôóíêöèåé ρ(x) = 1 :

                                      Z1
                                           Pi (x)Pk (x)dx = 0
                                  −1

ïðè i 6= k. Ïðè i = k èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî
                                 Z1
                                                         2
                                      [Pk (x)]2 dx =          .
                                                       2k + 1
                                −1


                                                 55

Страницы