Уравнения математической физики. Сборник задач. Даишев Р.А - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

n
y
00
³
1 − x
2
´
− 2xy
0
+ y
Ã
m(m + 1) −
n
2
1 − x
2
!
= 0,
y
m
(x) =
³
1 − x
2
´
n
2
· [P
m
(x)]
(n)
,
P
m
(x) m.
y
m
= P
n
m
(x).
n
1
Z
−1
P
n
i
(x)P
n
k
(x)dx = 0 (i 6= k);
1
Z
−1
[P
n
k
(x)]
2
dx =
2(k + n)!
(2k + 1)(k − n)!
.
T
00
θθ
+ T
0
θ
· ctgθ + (λ −
n
2
sin
2
θ
)T = 0,
n T (θ)
θ → +0 θ → −0
λ = m(m + 1) m
T
m
(θ) = P
m
n
(cos θ),
P
m
n
n = 0
Óðàâíåíèå Ëåæàíäðà n-ãî ïîðÿäêà
                                               Ã                            !
                ³             ´                          n2
           00             2               0
       y            1−x           − 2xy + y m(m + 1) −                          = 0,
                                                       1 − x2
èìååò ñâîèì ðåøåíèåì ôóíêöèþ
                                          ³        ´n
                       ym (x) = 1 − x2                2
                                                          · [Pm (x)](n) ,

ãäå Pm (x) - ïîëèíîì Ëåæàíäðà ñòåïåíè m. Ýòà ôóíêöèÿ íà-
çûâàåòñÿ ïðèñîåäèí¼ííîé ôóíêöèåé Ëåæàíäðà è îáîçíà÷àåòñÿ
ym = Pmn (x).
   Äëÿ ôèêñèðîâàííîãî n èìåþò ìåñòî ðàâåíñòâà:
                              Z1
                                   Pin (x)Pkn (x)dx = 0 (i 6= k);
                          −1

                      Z1
                                                       2(k + n)!
                              [Pkn (x)]2 dx =                       .
                                                   (2k + 1)(k − n)!
                      −1

   Óðàâíåíèå, ïðîâîäÿùååñÿ ê óðàâíåíèþ Ëåæàíäðà

                       00                                n2
                      Tθθ      +   Tθ0   · ctgθ + (λ −        )T = 0,
                                                       sin2 θ
ãäå n - öåëîå è íåîòðèöàòåëüíîå, ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè - T (θ)
îãðàíè÷åíà ïðè θ → +0 è ïðè θ → −0, - èìååò íåòðèâèàëüûå
ðåøåíèÿ òîëüêî ïðè λ = m(m + 1) (m - öåëîå íåîòðèöàòåëüíîå
÷èñëî). Ýòè íåòðèâèàëüíûå ðåøåíèÿ èìåþò ñëåäóþùèé âèä:

                                      Tm (θ) = Pnm (cos θ),

ãäå Pnm -ïðèñîåäèíåííàÿ ôóíêöèÿ Ëåæàíäðà (èëè, ïðè n = 0, -
ïîëèíîì Ëåæàíäðà).

                                                 56

Страницы