Составители:
Рубрика:
34
Определение 25. Значение функции выигрыша H
i
на ситуации
σ
в
смешанных стратегиях есть математическое ожидание этой случай-
ной величины
() ()() ( ) ()
11
1
1
.... , ...,
nn
n
ii inii
i
sS s S s S
HHss HssПs
=
∈∈∈
σ= σ = ⋅ σ
∑∑∑
. (25.1)
Определение 26. Игра
{}
{}
*
Г, ,
ii
iI
iI
IH
∈
∈
=< >
∑
, в которой мно-
жество всех игроков есть I, множество стратегий каждого игрока i есть
,
i
∑
а функции выигрыша H
i
определяются равенством (25.1), назы-
вается смешанным расширением игры Г.
Напомним, что в бескоалиционной игре
{} { }
*
Г= , ,
ii
iI iI
IS H s
∈∈
<>
является ситуацией равновесия, если
()
()
**
ii i
Hss Hs
≤
для всех
и.
ii
iIs S
∈∈
Определение 27. Ситуации равновесия смешанного расширения
*
Г
игры Г называются ситуациями равновесия игры Г в смешанных стра-
тегиях.
Таким образом,
*
σ
ситуация равновесия в Г, если при всех
и
i
i
σ
выполняется
()
()
**
.
iii
HH
σσ≤ σ
(25.2)
Теорема 20. Для того чтобы ситуация
*
σ
в игре Г была ситуацией
равновесия этой игры (в смешанных стратегиях), необходимо и доста-
точно, чтобы для любого игрока i и любой его чистой стратегии
i
s
выполнялось
()()
**
||
iii
HsH
σ≤σ
. (25.3)
Д о к а з а т е л ь с т в о. 1. Необходимость этого вытекает из (25.2), так
как s
i
– частный случай
i
σ
.
2. Для доказательства достаточности возьмем произвольную смешан-
ную стратегию
i
σ
игрока i, умножим выражение (25.3) на
(
)
ii
s
σ
и
просуммируем по
.
ii
sS∈
