Теория игр. Основные понятия: Текст лекций. Даниловцева Е.Р - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

32
А это неравенство является условием оптимальности X
*
и Y
*
игре
Г
′
. Кроме того из выражений (16.8) и (16.9) видно, что если
()
**
,YXHV
=
– значение игры Г, то
()
CkVCYXkHV
+=+=
′
**
,
–
значение игры .
17. Множества оптимальных стратегий игроков
в матричных играх
Пусть
()
AT
1
– множество всех оптимальных стратегий игрока 1 в
матричной игре с матрицей выигрышей
A
.
(
)
AT
2
– множество всех
оптимальных стратегий игрока 2.
Теорема 19. Во всякой матричной игре с матрицей выигрышей
A
каждое из множеств, является:
1) непустым;
2) выпуклым;
3) замкнутым;
4) ограниченным.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Проведем только для
()
AT
1
.
1. Непустота следует из существования оптимальных стратегий,
доказательство в п. 14.
2. Для доказательства выпуклости
(
)
AT
1
возьмем две оптимальные
стратегии игрока 1:
иXX
′′′
.
Имеем для всех j = 1, …, n
,.
jj
XA V X A V
⋅⋅
′′′
≥≥
Составим стратегию
()
[]
1,где 0; 1 .XX X
′′′
=λ + −λ λ∈
Тогда при любом j = 1, …, n
()
()
1
jj
XA X X A
⋅⋅
′′′
=λ + −λ =λ
() ()
11,
jj
XA X A V V V
⋅⋅
′′′
+−λ ≥λ +−λ =
т. е.
j
XA V
⋅
≥
при всех j, а это есть условие оптимальности стратегии X.
3. Замкнутость. Пусть X
1
, X
2
, …, X
e
– последовательность опти-
мальных стратегий игрока 1, сходящихся к X
0
.
Из оптимальности этих стратегий имеем
ej
VXA
⋅
≤
при всех j = 1, …, n, e = 1, 2, … (17.1)

Страницы